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Bei einem Spaltenvektor stehen die Komponenten untereinander. Bei einem Zeilenvektor stehen sie nebeneinander.
Ein Vektor lässt sich als Spalte oder als Zeile schreiben, und beide Formen tragen dieselben Komponenten in derselben Reihenfolge. Runde und eckige Klammern sind gleichermaßen zulässig.
In zwei Dimensionen stehen die Komponenten in der Zeile oder . Als Spalte behalten sie dieselbe Reihenfolge:
In drei Dimensionen wird aus der Zeile oder die folgende Spalte. Die Reihenfolge der Komponenten bleibt gleich, auch wenn sich ihre Anordnung ändert.
Ein Vektor mit denselben Komponenten lässt sich auf mehrere nützliche Arten darstellen:
Mit runden Klammern:
Mit eckigen Klammern:
Mit kartesischen Einheitsvektoren:
Alle drei Ausdrücke beschreiben denselben Vektor. Die ersten beiden stellen seine Komponenten als Spalte dar. Der dritte Ausdruck zerlegt den Vektor in die kartesischen Einheitsvektoren. Die Bedeutung senkrechter Striche ergibt sich aus dem Kontext: oder kann die Determinante einer quadratischen Matrix bezeichnen, den Betrag eines Skalars und den Betrag, also die Norm, eines Vektors.
Für die kartesische Standardbasis wählen wir einen Einheitsvektor in positiver Richtung jeder Achse. Auch in negativer Richtung gibt es einen Einheitsvektor. Er ist der Gegenvektor des gewählten Basisvektors.
Ein Einheitsvektor hat den Betrag und zeigt in eine bestimmte Richtung. Im kartesischen Koordinatensystem gibt es für jede Achse einen solchen Basisvektor.
Die Ebene hat zwei Basisrichtungen, und jeder Einheitsvektor hat die Länge eins. Die Tabelle zeigt beide Einheitsvektoren als Zeilenvektor.
| Richtung | Zeilenvektor |
|---|---|
| horizontal, entlang der -Achse | |
| vertikal, entlang der -Achse |
Dieselben zwei Einheitsvektoren behalten als Spaltenvektor die Reihenfolge ihrer Komponenten:
Die erste Matrix ist der horizontale Einheitsvektor, und die zweite Matrix ist der vertikale Einheitsvektor.
Der Raum ergänzt eine dritte Basisrichtung. Jeder der drei Einheitsvektoren zeigt entlang einer Achse und hat die Länge eins. Die Tabelle zeigt sie als Zeilenvektor.
| Richtung | Zeilenvektor |
|---|---|
| entlang der -Achse | |
| entlang der -Achse | |
| entlang der -Achse |
Dieselben drei Einheitsvektoren behalten als Spaltenvektor die Reihenfolge ihrer Komponenten:
Die erste Matrix ist der Einheitsvektor entlang der -Achse, die zweite entlang der -Achse und die dritte entlang der -Achse.
Spalten- und Zeilenvektoren hängen über das Transponieren zusammen. Dabei wird aus einer Zeile eine Spalte oder aus einer Spalte eine Zeile.
Ist ein Zeilenvektor, dann ist seine Transponierte ein Spaltenvektor:
Betrachte umgekehrt den Spaltenvektor:
Seine Transponierte ist ein Zeilenvektor:
Die Unterscheidung ist besonders bei Operationen der linearen Algebra wichtig, etwa bei der Matrixmultiplikation. In der Vektorrechnung, der Physik und anderen wissenschaftlichen Anwendungen muss die gewählte Form zur jeweiligen Rechnung passen.
In der Informatik stellen Spalten- und Zeilenvektoren zum Beispiel Daten und Variablen in der numerischen Programmierung, der Bildverarbeitung und der künstlichen Intelligenz dar.
Zeilen- und Spaltenform bestimmen die Form des Produkts. Wir verwenden die beiden bereits bekannten Komponenten:
Zeile mal Spalte ergibt einen einzelnen Wert, denn das Ergebnis hat die Größe :
Spalte mal Zeile ergibt eine Matrix der Größe . Jeder Spalteneintrag wird mit beiden Zeileneinträgen multipliziert:
Die Komponentenwerte sind gleich. Die umgekehrte Reihenfolge der Multiplikation ergibt aber Objekte unterschiedlicher Größe.
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