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Ein Vektor besitzt einen Betrag und eine Richtung. In Koordinatenrechnungen ordnen wir seine Komponenten meist als Spaltenvektor oder als Zeilenvektor an. Das sind Komponentendarstellungen und nicht die einzigen Möglichkeiten, einen Vektor zu zeichnen oder zu schreiben.
Bei einem Spaltenvektor stehen die Komponenten untereinander. Bei einem Zeilenvektor stehen sie nebeneinander.
So sehen beide Schreibweisen aus:
Für zweidimensionale Vektoren:
Für dreidimensionale Vektoren:
Ein Vektor mit denselben Komponenten lässt sich auf mehrere nützliche Arten darstellen:
Mit runden Klammern:
Mit eckigen Klammern:
Mit kartesischen Einheitsvektoren:
Alle drei Ausdrücke beschreiben denselben Vektor. Die ersten beiden stellen seine Komponenten als Spalte dar. Der dritte Ausdruck zerlegt den Vektor in die kartesischen Einheitsvektoren. Die Bedeutung senkrechter Striche ergibt sich aus dem Kontext: oder kann die Determinante einer quadratischen Matrix bezeichnen, den Betrag eines Skalars und den Betrag, also die Norm, eines Vektors.
Ein Einheitsvektor hat den Betrag und zeigt in eine bestimmte Richtung. Im kartesischen Koordinatensystem gibt es für jede Achse einen solchen Basisvektor.
Einheitsvektor in horizontaler Richtung, also entlang der -Achse:
Einheitsvektor in vertikaler Richtung, also entlang der -Achse:
Einheitsvektor entlang der -Achse:
Einheitsvektor entlang der -Achse:
Einheitsvektor entlang der -Achse:
Spalten- und Zeilenvektoren hängen über das Transponieren zusammen. Dabei wird aus einer Zeile eine Spalte oder aus einer Spalte eine Zeile.
Ist ein Zeilenvektor, dann ist seine Transponierte ein Spaltenvektor:
Ist umgekehrt ein Spaltenvektor, dann ist seine Transponierte ein Zeilenvektor:
Die Unterscheidung ist besonders bei Operationen der linearen Algebra wichtig, etwa bei der Matrixmultiplikation. In der Vektorrechnung, der Physik und anderen wissenschaftlichen Anwendungen muss die gewählte Form zur jeweiligen Rechnung passen.
In der Informatik stellen Spalten- und Zeilenvektoren zum Beispiel Daten und Variablen in der numerischen Programmierung, der Bildverarbeitung und der künstlichen Intelligenz dar.
