Spaltenvektoren und Zeilenvektoren

Vektorkomponenten untereinander oder nebeneinander schreiben

Ein Vektor besitzt einen Betrag und eine Richtung. In Koordinatenrechnungen ordnen wir seine Komponenten meist als Spaltenvektor oder als Zeilenvektor an. Ein Pfeil oder eine gleichwertige Schreibweise kann denselben Vektor ebenfalls darstellen.

Bei einem Spaltenvektor stehen die Komponenten untereinander. Bei einem Zeilenvektor stehen sie nebeneinander.

Notation von Spaltenvektoren und Zeilenvektoren

Ein Vektor lässt sich als Spalte oder als Zeile schreiben, und beide Formen tragen dieselben Komponenten in derselben Reihenfolge. Runde und eckige Klammern sind gleichermaßen zulässig.

In zwei Dimensionen stehen die Komponenten in der Zeile $(3 \; 4)$ oder $[3 \; 4]$. Als Spalte behalten sie dieselbe Reihenfolge:

In drei Dimensionen wird aus der Zeile $(2 \; 1 \; 3)$ oder $[2 \; 1 \; 3]$ die folgende Spalte. Die Reihenfolge der Komponenten bleibt gleich, auch wenn sich ihre Anordnung ändert.

Gleichwertige Komponentendarstellungen

Ein Vektor mit denselben Komponenten lässt sich auf mehrere nützliche Arten darstellen:

1. Mit runden Klammern:

   $$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

2. Mit eckigen Klammern:

   $$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

3. Mit kartesischen Einheitsvektoren:

   $$2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$$

Alle drei Ausdrücke beschreiben denselben Vektor. Die ersten beiden stellen seine Komponenten als Spalte dar. Der dritte Ausdruck zerlegt den Vektor in die kartesischen Einheitsvektoren. Die Bedeutung senkrechter Striche ergibt sich aus dem Kontext: $\det A$ oder $|A|$ kann die Determinante einer quadratischen Matrix bezeichnen, $|x|$ den Betrag eines Skalars und $\lVert \vec{v} \rVert$ den Betrag, also die Norm, eines Vektors.

Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem

Für die kartesische Standardbasis wählen wir einen Einheitsvektor in positiver Richtung jeder Achse. Auch in negativer Richtung gibt es einen Einheitsvektor. Er ist der Gegenvektor des gewählten Basisvektors.

Ein Einheitsvektor hat den Betrag $1 \text{ Einheit}$ und zeigt in eine bestimmte Richtung. Im kartesischen Koordinatensystem gibt es für jede Achse einen solchen Basisvektor.

Einheitsvektoren im zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem

Die Ebene hat zwei Basisrichtungen, und jeder Einheitsvektor hat die Länge eins. Die Tabelle zeigt beide Einheitsvektoren als Zeilenvektor.

Dieselben zwei Einheitsvektoren behalten als Spaltenvektor die Reihenfolge ihrer Komponenten:

Die erste Matrix ist der horizontale Einheitsvektor, und die zweite Matrix ist der vertikale Einheitsvektor.

Einheitsvektoren im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem

Der Raum ergänzt eine dritte Basisrichtung. Jeder der drei Einheitsvektoren zeigt entlang einer Achse und hat die Länge eins. Die Tabelle zeigt sie als Zeilenvektor.

Dieselben drei Einheitsvektoren behalten als Spaltenvektor die Reihenfolge ihrer Komponenten:

Die erste Matrix ist der Einheitsvektor entlang der $x$-Achse, die zweite entlang der $y$-Achse und die dritte entlang der $z$-Achse.

Beziehung zwischen Spaltenvektoren und Zeilenvektoren

Spalten- und Zeilenvektoren hängen über das Transponieren zusammen. Dabei wird aus einer Zeile eine Spalte oder aus einer Spalte eine Zeile.

Ist $\vec{a} = (a_1 \; a_2 \; \ldots \; a_n)$ ein Zeilenvektor, dann ist seine Transponierte ein Spaltenvektor:

Betrachte umgekehrt den Spaltenvektor:

Seine Transponierte ist ein Zeilenvektor:

Anwendungen von Spaltenvektoren und Zeilenvektoren

Die Unterscheidung ist besonders bei Operationen der linearen Algebra wichtig, etwa bei der Matrixmultiplikation. In der Vektorrechnung, der Physik und anderen wissenschaftlichen Anwendungen muss die gewählte Form zur jeweiligen Rechnung passen.

In der Informatik stellen Spalten- und Zeilenvektoren zum Beispiel Daten und Variablen in der numerischen Programmierung, der Bildverarbeitung und der künstlichen Intelligenz dar.

Zeilen- und Spaltenform bestimmen die Form des Produkts. Wir verwenden die beiden bereits bekannten Komponenten:

Zeile mal Spalte ergibt einen einzelnen Wert, denn das Ergebnis hat die Größe $1\times1$:

Spalte mal Zeile ergibt eine Matrix der Größe $2\times2$. Jeder Spalteneintrag wird mit beiden Zeileneinträgen multipliziert:

Die Komponentenwerte sind gleich. Die umgekehrte Reihenfolge der Multiplikation ergibt aber Objekte unterschiedlicher Größe.