Analyse einer Wurfbewegung

Zuerst wird die Anfangsgeschwindigkeit zerlegt

Der Winkel wird zur Horizontalen gemessen. Nach rechts und nach oben zählen positiv.

Die Analyse einer Wurfbewegung beginnt fast immer mit einer einfachen Frage: Welcher Anteil der Geschwindigkeit ist horizontal und welcher vertikal? Für den Anfangsgeschwindigkeitsbetrag $v_0$ und den Abwurfwinkel $\theta$ lauten die beiden Komponenten:

v_{0x}=v_0\cos\theta

Anschließend werden die horizontale und die vertikale Bewegung getrennt berechnet. Das Modell vernachlässigt den Luftwiderstand und verwendet eine konstante Gravitationsbeschleunigung. Horizontal liegt eine gleichförmige Bewegung vor, weil $keine horizontale Beschleunigung wirkt$ . Vertikal liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor, weil die Gravitation nach unten wirkt.

Die Gleichungen für die horizontale und vertikale Richtung verwenden dieselbe Zeitvariable.

Komponentenanalyse einer Kanonenkugel

Beobachte die Flugbahn der Kanonenkugel. Halbtransparente Positionsmarken zeigen gleiche Zeitabstände und folgen denselben Formeln wie die Rechnung.

Horizontale Komponente: $v_{0x}=20\text{ m/s}$
Vertikale Komponente: $v_{0y}=34{,}6\text{ m/s}$
Zeit bis zum höchsten Punkt: $t=3{,}5\text{ s}$
Flugzeit: $T=6{,}9\text{ s}$
Wurfweite: $R=138{,}6\text{ m}$
Momentane Geschwindigkeit nach zwei Sekunden: $\vec{v}=\langle 20, 14{,}6\rangle\text{ m/s}$

Die Flugbahn und die halbtransparenten Kugeln zeigen eine Bewegung in gleichen Zeitabständen. Die Werte unter der Szene zerlegen diese Bewegung in Komponenten: $v_{0x}$ bleibt konstant, während sich $v_y=v_{0y}-gt$ durch die nach unten gerichtete Erdbeschleunigung ändert.

Alle dargestellten Würfe starten und landen auf derselben Höhe. Unter dieser Bedingung lässt sich die Rechnung als zusammenhängende Formelfolge lesen:

\begin{aligned} &v_{0x}=v_0\cos\theta \\ &v_{0y}=v_0\sin\theta \\ &t_{\text{Höhepunkt}}=\frac{v_{0y}}{g} \\ &T=2t_{\text{Höhepunkt}} \\ &R=v_{0x}T \\ &\vec{v}(2)=\langle v_{0x},v_{0y}-g(2)\rangle, \\ &g=10\text{ m/s}^2 \end{aligned}

Am höchsten Punkt ist die Vertikalgeschwindigkeit null

Am höchsten Punkt bewegt sich das Objekt $weiterhin horizontal$ , doch seine vertikale Bewegung hält für einen Moment inne. Deshalb gilt dort $v_y=0$ .

v_y=v_{0y}-gt

Bei $v_y=0$ beträgt die Zeit bis zum Höhepunkt:

t_{\text{Höhepunkt}}=\frac{v_{0y}}{g}

Bei einem Anfangsgeschwindigkeitsbetrag von $40\text{ m/s}$ und einem Winkel von $60^\circ$ beträgt die anfängliche vertikale Komponente $20\sqrt{3}\text{ m/s}$ . Vor dem höchsten Punkt ist sie positiv, dort wird sie null und danach ist sie negativ, weil sich das Objekt nach unten bewegt.

Die Wurfweite nutzt die gesamte Flugzeit

Wenn das Objekt vom Boden startet und auf $derselben Höhe$ zum Boden zurückkehrt, beträgt die Gesamtzeit das Doppelte der Zeit bis zum Höhepunkt.

t_{\text{gesamt}}=2t_{\text{Höhepunkt}}

Diese Formel zeigt, dass die Wurfweite vom Winkel, von der horizontalen Geschwindigkeit und von der Flugzeit abhängt.

Die momentane Geschwindigkeit hat eine horizontale und eine vertikale Komponente

Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, werden zuerst $v_x$ und $v_y$ für diesen Zeitpunkt berechnet. Die horizontale Komponente bleibt konstant, die vertikale Komponente ändert sich.

v_x=v_{0x}

Die Geschwindigkeitsrichtung muss $beide Komponenten und den richtigen Quadranten$ berücksichtigen:

\alpha=\operatorname{atan2}(v_y,v_x)

Für $v_x>0$ ist das gleichbedeutend mit $\tan\alpha=v_y/v_x$ und $-90^\circ<\alpha<90^\circ$ . Ein positives $v_y$ zeigt oberhalb der Horizontalen, ein negatives darunter.

Ein Abwurf bei sechzig Grad verbindet beide Komponenten

Ein Ball wird mit dem Anfangsgeschwindigkeitsbetrag $40\text{ m/s}$ unter einem Winkel von $60^\circ$ geworfen. Für die Rechnung gilt $g=10\text{ m/s}^2$ .

Für $60^\circ$ lassen sich $Sinus und Kosinus exakt angeben$ . Deshalb können wir die Anfangsgeschwindigkeit exakt zerlegen, die Zeit aus der vertikalen Bewegung bestimmen und mit derselben Zeit Wurfweite und momentane Geschwindigkeit berechnen.

Die Anfangskomponenten sind:

v_{0x}=40\cos60^\circ=40\left(\frac{1}{2}\right)=20\text{ m/s}

Die Zeit bis zum höchsten Punkt beträgt:

t_{\text{Höhepunkt}}=\frac{20\sqrt{3}}{10}=2\sqrt{3}\text{ s}

Gesamte Flugzeit und Wurfweite betragen:

t_{\text{gesamt}}=4\sqrt{3}\text{ s}

Angenommen, wir wollen die Geschwindigkeit bei $t=2\text{ s}$ . Die vertikale Komponente ist:

\begin{aligned} v_y &=20\sqrt{3}-10(2) \\ &=20\sqrt{3}-20\text{ m/s} \end{aligned}

Währenddessen bleibt $v_x=20\text{ m/s}$ konstant. Der Geschwindigkeitsbetrag ist:

\begin{aligned} v&=\sqrt{20^2+(20\sqrt{3}-20)^2}\\ &=\sqrt{400+400(3-2\sqrt{3}+1)}\\ &=\sqrt{2000-800\sqrt{3}}\\ &\approx 24{,}8\text{ m/s} \end{aligned}

Die Richtung der Geschwindigkeit relativ zur Horizontalen ist:

\alpha=\operatorname{atan2}(20\sqrt{3}-20,20)\approx 36{,}2^\circ

Bei $t=2\text{ s}$ bewegt sich die Kugel also immer noch schräg nach oben, da $v_y$ immer noch positiv ist.