Beschleunigung

Beschleunigung misst die Geschwindigkeitsänderung

Wenn ein Auto anfährt, wird der Körper scheinbar nach hinten gedrückt. Beim Bremsen bewegt er sich scheinbar nach vorn. In beiden Fällen ändert sich die Geschwindigkeit des Autos.

In der Physik beschreibt die mittlere Beschleunigung die $Geschwindigkeitsänderung$ innerhalb eines Zeitintervalls. Da die Geschwindigkeit einen Betrag und eine Richtung besitzt, muss auch das Vorzeichen der Beschleunigung relativ zur gewählten positiven Richtung gelesen werden.

Ein Fahrzeug beschleunigt beim Schnellerwerden, Langsamerwerden oder bei einer Richtungsänderung, weil sich in jedem Fall seine Geschwindigkeit ändert.

\begin{aligned} \vec{a}_{\text{mittel}} &= \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \\ &= \frac{\vec{v}_t-\vec{v}_0}{t_t-t_0} \end{aligned}

Die Einheit der Beschleunigung ist $\text{m/s}^2$ . Ist die Beschleunigung konstant $a=2\text{ m/s}^2$ , erhöht sich die Geschwindigkeit alle $1\text{ s}$ um $2\text{ m/s}$ . In diesem Sonderfall entspricht die mittlere Beschleunigung in jedem Intervall der Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt.

Vom Tickerband zur Diagrammsteigung

Ein Zeitmarkengeber setzt in $gleichen Zeitabständen$ Punkte auf ein Papierband. Bei einer geradlinigen Bewegung ohne Richtungswechsel bedeuten wachsende Abstände einen größeren Geschwindigkeitsbetrag, gleich große Abstände einen konstanten Betrag und schrumpfende Abstände einen kleineren Betrag. Die Abstände allein zeigen nicht das Vorzeichen der Geschwindigkeit. Dafür bleibt die gewählte positive Richtung notwendig.

Raketenbeschleunigung durch den Weltraum

Vergleiche die Abstände zwischen den Toren, die die Rakete alle

1\text{ s}

passiert. Je nach gewählter Bewegung wachsen die Abstände, bleiben gleich oder werden kleiner.

Anfangsgeschwindigkeit: $v_0=2\text{ m/s}$
Beschleunigung: $a=+4\text{ m/s}^2$
Endgeschwindigkeit: $v_t=18\text{ m/s}$
Zeitintervall: $\Delta t=1\text{ s}$

Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm trägt die Geschwindigkeit auf der vertikalen und die Zeit auf der horizontalen Achse ab. Die Abschnittssteigung $\Delta v/\Delta t$ ist die mittlere Beschleunigung in diesem Intervall. Bei einem geraden Abschnitt ist die Steigung konstant und gibt die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt des Abschnitts an.

Vergleiche in der Bewegungsspur die Geschwindigkeit von einem Intervall zum nächsten. Berechne diese Änderung anschließend mit der Steigung des Diagramms pro Sekunde.

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm

Wähle einen Abschnitt des Diagramms aus und lies seine Steigung als Geschwindigkeitsänderung pro Sekunde.

Die gestrichelte Linie zeigt den vollständigen Verlauf, die dicke Linie den ausgewählten Abschnitt. Eine steigende Linie bedeutet zunehmende Geschwindigkeit, eine waagerechte Linie konstante Geschwindigkeit und eine fallende Linie abnehmende Geschwindigkeit. Die mittlere Beschleunigung des Abschnitts ist das Verhältnis von $\Delta v$ zu $\Delta t$ .

Das Zeichen der Beschleunigung lesen

Das Vorzeichen der Beschleunigung ist nur zusammen mit der gewählten positiven Richtung aussagekräftig. In diesem eindimensionalen Beispiel sei die Richtung nach rechts positiv.

Die Tabelle setzt $konstante Beschleunigung im betrachteten Zeitintervall$ voraus.

Beschleunigungszeichen	Geschwindigkeitsänderung	Lesen mit rechts als positiv
$a>0$	$v_t>v_0$	Geschwindigkeit nimmt in positiver Richtung zu
$a=0$	$v_t=v_0$	Geschwindigkeit bleibt konstant
$a<0$	$v_t<v_0$	Die Geschwindigkeit nimmt ab, wenn sich das Objekt immer noch in positiver Richtung bewegt

Die letzte Zeile ist leicht misszuverstehen: Eine negative Beschleunigung bedeutet nicht automatisch, dass sich das Objekt nach links bewegt. Sie bedeutet, dass die Geschwindigkeitsänderung $in die negative Achsenrichtung zeigt$ .

Berechnung der Geschwindigkeitsänderung pro Sekunde

Angenommen, ein Auto ändert seine Geschwindigkeit in $4\text{ s}$ von $2\text{ m/s}$ auf $18\text{ m/s}$ . Seine mittlere Beschleunigung beträgt:

\begin{aligned} a_{\text{mittel}} &= \frac{v_t-v_0}{\Delta t} \\ &= \frac{18-2}{4} \\ &= 4\text{ m/s}^2 \end{aligned}

Bei $konstanter Beschleunigung während der vier Sekunden$ nimmt die Geschwindigkeit jede Sekunde um $4\text{ m/s}$ zu. Bei konstanter Beschleunigung entsteht die Folge $2\text{ m/s}$ , $6\text{ m/s}$ , $10\text{ m/s}$ und so weiter.

Da dieses Beispiel eine konstante Beschleunigung voraussetzt, gilt derselbe Wert zu jedem Zeitpunkt. Vergleiche das mit einem Auto, dessen Geschwindigkeit sich in $4\text{ s}$ von $18\text{ m/s}$ auf $2\text{ m/s}$ ändert.

\begin{aligned} a_{\text{mittel}} &= \frac{2-18}{4} \\ &= -4\text{ m/s}^2 \end{aligned}

Der Wert $-4\text{ m/s}^2$ bedeutet, dass die Geschwindigkeit jede Sekunde um $4\text{ m/s}$ abnimmt, wenn sich das Auto noch in positiver Richtung bewegt.

Auch eine Beschleunigung von null muss interpretiert werden

Ist die Beschleunigung $während des gesamten betrachteten Zeitintervalls$ null, bleibt die Geschwindigkeit des Objekts unverändert. Das Objekt muss deshalb nicht ruhen. Es kann sich weiterhin mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen, zum Beispiel mit $10\text{ m/s}$ nach rechts.

Für die Beurteilung müssen wir daher zusätzlich die Geschwindigkeit betrachten. Bei $a=0$ und $v=0$ ruht das Objekt. Bei $a=0$ und $v\neq 0$ bewegt es sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.

Beschleunigung misst die Geschwindigkeitsänderung

Wenn ein Auto anfährt, wird der Körper scheinbar nach hinten gedrückt. Beim Bremsen bewegt er sich scheinbar nach vorn. In beiden Fällen ändert sich die Geschwindigkeit des Autos.

Ein Fahrzeug beschleunigt beim Schnellerwerden, Langsamerwerden oder bei einer Richtungsänderung, weil sich in jedem Fall seine Geschwindigkeit ändert.

\begin{aligned} \vec{a}_{\text{mittel}} &= \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \\ &= \frac{\vec{v}_t-\vec{v}_0}{t_t-t_0} \end{aligned}

Vom Tickerband zur Diagrammsteigung

Raketenbeschleunigung durch den Weltraum

Vergleiche die Abstände zwischen den Toren, die die Rakete alle

1\text{ s}

passiert. Je nach gewählter Bewegung wachsen die Abstände, bleiben gleich oder werden kleiner.

Anfangsgeschwindigkeit: $v_0=2\text{ m/s}$
Beschleunigung: $a=+4\text{ m/s}^2$
Endgeschwindigkeit: $v_t=18\text{ m/s}$
Zeitintervall: $\Delta t=1\text{ s}$

Vergleiche in der Bewegungsspur die Geschwindigkeit von einem Intervall zum nächsten. Berechne diese Änderung anschließend mit der Steigung des Diagramms pro Sekunde.

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm

Wähle einen Abschnitt des Diagramms aus und lies seine Steigung als Geschwindigkeitsänderung pro Sekunde.

Das Zeichen der Beschleunigung lesen

Das Vorzeichen der Beschleunigung ist nur zusammen mit der gewählten positiven Richtung aussagekräftig. In diesem eindimensionalen Beispiel sei die Richtung nach rechts positiv.

Die Tabelle setzt $konstante Beschleunigung im betrachteten Zeitintervall$ voraus.

Beschleunigungszeichen	Geschwindigkeitsänderung	Lesen mit rechts als positiv
$a>0$	$v_t>v_0$	Geschwindigkeit nimmt in positiver Richtung zu
$a=0$	$v_t=v_0$	Geschwindigkeit bleibt konstant
$a<0$	$v_t<v_0$	Die Geschwindigkeit nimmt ab, wenn sich das Objekt immer noch in positiver Richtung bewegt

Berechnung der Geschwindigkeitsänderung pro Sekunde

Angenommen, ein Auto ändert seine Geschwindigkeit in $4\text{ s}$ von $2\text{ m/s}$ auf $18\text{ m/s}$ . Seine mittlere Beschleunigung beträgt:

\begin{aligned} a_{\text{mittel}} &= \frac{v_t-v_0}{\Delta t} \\ &= \frac{18-2}{4} \\ &= 4\text{ m/s}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} a_{\text{mittel}} &= \frac{2-18}{4} \\ &= -4\text{ m/s}^2 \end{aligned}

Der Wert $-4\text{ m/s}^2$ bedeutet, dass die Geschwindigkeit jede Sekunde um $4\text{ m/s}$ abnimmt, wenn sich das Auto noch in positiver Richtung bewegt.