Schnelligkeit und Geschwindigkeit

Bewegungen über Weglänge und gerichtete Verschiebung beschreiben

Bei einer Bewegung gibt die $Schnelligkeit$ die zurückgelegte Strecke pro Zeit an. Die $Geschwindigkeit$ gibt die Verschiebung pro Zeit zusammen mit ihrer Richtung an.

Die Schnelligkeit ist eine skalare Größe und wird durch einen Betrag mit Einheit, ohne Richtung, angegeben. Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe mit Betrag und Richtung.

\begin{aligned} \text{mittlere Schnelligkeit} &= \frac{s}{\Delta t} \\ \bar{v} &= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}

Das Symbol $s$ steht für die zurückgelegte Strecke, $\Delta x$ für die Verschiebung auf einer Geraden und $\Delta t$ für das Zeitintervall. Über eine ganze Bewegung liefern die Formeln die mittlere Schnelligkeit beziehungsweise die mittlere Geschwindigkeit.

Die Schnelligkeit berücksichtigt den gesamten zurückgelegten Weg. Die Geschwindigkeit verwendet die gerichtete Verschiebung mit ihrem Vorzeichen.

Autobewegung auf einer Linie

Wähle eine Fahrt aus und vergleiche den grünen zurückgelegten Weg mit der violetten Verschiebung zwischen Start- und Endposition.

Zurückgelegte Strecke: $s=24\text{ m}$
Verschiebung: $\Delta x=+8\text{ m}$
Mittlere Schnelligkeit: $\frac{s}{\Delta t}=6\text{ m/s}$
Mittlere Geschwindigkeit: $v=+2\text{ m/s}$

Schnelligkeit aus Weglänge und Geschwindigkeit aus Ortsänderung

Für die Unterscheidung betrachten wir sowohl den gesamten Weg als auch die Ortsänderung vom Start bis zum Ende. Die Schnelligkeit wird aus der Weglänge berechnet, die Geschwindigkeit aus der Verschiebung pro Zeit.

Bei geradliniger Bewegung $ohne Richtungswechsel$ ist die mittlere Schnelligkeit gleich dem Betrag der mittleren Geschwindigkeit im selben Zeitintervall. Kehrt das Objekt um, übersteigt die Weglänge den Betrag der Verschiebung. Die beiden Mittelwerte unterscheiden sich dann. Zu einem einzelnen Zeitpunkt ist die momentane Schnelligkeit stets der Betrag der momentanen Geschwindigkeit.

In der folgenden Tabelle ist die Richtung nach rechts positiv.

Objektbewegung	Zurückgelegte Strecke	Verschiebung
Bewegt sich direkt von $0 \text{ m}$ nach $8 \text{ m}$	$8 \text{ m}$	$+8 \text{ m}$
Bewegt sich von $0 \text{ m}$ zu $8 \text{ m}$ und dann zurück zu $4 \text{ m}$	$12 \text{ m}$	$+4 \text{ m}$
Bewegt sich von $0 \text{ m}$ zu $8 \text{ m}$ und dann zurück zu $0 \text{ m}$	$16 \text{ m}$	$0 \text{ m}$

Die letzte Zeile zeigt den Unterschied besonders deutlich: Das Objekt legt $16 \text{ m}$ zurück, seine Verschiebung ist dennoch null, weil es zum Startpunkt zurückkehrt.

Die mittlere Schnelligkeit beruht auf der Weglänge

Angenommen, ein Objekt bewegt sich von der Position $0 \text{ m}$ nach $8 \text{ m}$ und kehrt dann zur Position $4 \text{ m}$ zurück. Die gesamte Bewegung dauert $4 \text{ s}$ .

Die zurückgelegte Strecke beträgt:

s=8 \text{ m}+4 \text{ m}=12 \text{ m}

Die mittlere Schnelligkeit beträgt:

\begin{aligned} \text{mittlere Schnelligkeit} &=\frac{12 \text{ m}}{4 \text{ s}} \\ &=3 \text{ m/s} \end{aligned}

Dieser Wert gibt an, wie schnell sich das Objekt $entlang seines Weges$ bewegt hat. Eine Richtung enthält er nicht.

Die Schnelligkeit ist daher nie negativ. Solange sich das Objekt bewegt, wächst die insgesamt zurückgelegte Weglänge.

Die mittlere Geschwindigkeit berücksichtigt die Richtung

Für das gleiche Beispiel beträgt die Verschiebung:

\Delta x=4 \text{ m}-0 \text{ m}=+4 \text{ m}

Die mittlere Geschwindigkeit beträgt:

\bar{v}=\frac{+4 \text{ m}}{4 \text{ s}}=+1 \text{ m/s}

Das $positive Vorzeichen$ bedeutet, dass die Geschwindigkeit nach rechts gerichtet ist. Ein negatives Ergebnis würde eine Bewegung nach links anzeigen.

Bei der Geschwindigkeit erhält das Vorzeichen seine Bedeutung durch die festgelegte positive Richtung und die daraus bestimmte Verschiebung.

Wenn Schnelligkeit und Geschwindigkeit verschieden sind

Stell dir nun vor, das Objekt bewegt sich von $0 \text{ m}$ nach $8 \text{ m}$ und kehrt dann zu $0 \text{ m}$ zurück. Die gesamte Bewegung dauert $4 \text{ s}$ .

Die zurückgelegte Strecke beträgt $16 \text{ m}$ , die mittlere Schnelligkeit ist also:

\begin{aligned} \text{mittlere Schnelligkeit} &=\frac{16 \text{ m}}{4 \text{ s}} \\ &=4 \text{ m/s} \end{aligned}

Die Verschiebung beträgt $0 \text{ m}$ , daher beträgt die Geschwindigkeit:

\bar{v}=\frac{0 \text{ m}}{4 \text{ s}}=0 \text{ m/s}

Die mittlere Schnelligkeit kann also ungleich null sein, obwohl die mittlere Geschwindigkeit null ist. Das ist kein Widerspruch: $Die Schnelligkeit beruht auf der Weglänge$ , die Geschwindigkeit auf der Ortsänderung zwischen Anfang und Ende.

Die Wahl der richtigen Formel

Größe	Berechnung beruht auf	Besitzt eine Richtung?	Beispieleinheit
Mittlere Schnelligkeit	Zurückgelegte Strecke	Nein	$\text{m/s}$
Mittlere Geschwindigkeit	Verschiebung	Ja	$\text{m/s}$ nach rechts

Geht es darum, wie schnell ein Weg zurückgelegt wird, verwenden wir $Weglänge und Schnelligkeit$ . Geht es um die gerichtete Ortsänderung, verwenden wir Verschiebung und Geschwindigkeit.