Gleichförmige Kreisbewegung

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bewegt sich ein Objekt mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag auf einer Kreisbahn. „Gleichförmig“ bedeutet nicht, dass alle Bewegungsgrößen unverändert bleiben. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt gleich, ihre Richtung ändert sich jedoch fortlaufend entlang der gekrümmten Bahn.

Stell dir ein kleines Auto auf einer Rundstrecke vor. Es kann in jeder Sekunde dieselbe Strecke zurücklegen. Trotzdem zeigt seine Geschwindigkeit am rechten Rand der Strecke in eine andere Richtung als am oberen Rand.

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bleibt der Geschwindigkeitsbetrag konstant. Die Geschwindigkeit ändert sich dennoch, weil sich ihre Richtung ändert.

Der Geschwindigkeitsbetrag beschreibt nur, wie schnell sich das Objekt entlang der Bahn bewegt. Die Geschwindigkeit enthält zusätzlich die Bewegungsrichtung.

Die Winkelverschiebung beschreibt die Position auf dem Kreis

Bei geradliniger Bewegung wird die Position oft als Abstand vom Nullpunkt gelesen. Bei kreisförmiger Bewegung lässt sich die Position anhand eines Winkels leichter ablesen. Der vom Objekt überstrichene Winkel wird als Winkelverschiebung bezeichnet.

Wenn sich ein Objekt von einer Referenzlinie aus bewegt und in der Zeit $\Delta t$ einen vorzeichenbehafteten Winkel $\Delta\theta$ überstreicht, beträgt seine mittlere Winkelgeschwindigkeit:

Das Symbol $\omega$ wird Omega gelesen. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist die Winkelgeschwindigkeit konstant und entspricht deshalb dem Mittelwert in jedem Zeitintervall. Ihre Einheit ist Radiant pro Sekunde, geschrieben als $\text{rad/s}$. Das Bogenmaß eignet sich hier besonders gut, weil eine volle Umdrehung $2\pi$ Radiant entspricht.

Umlaufzeit und Frequenz beschreiben dieselbe Runde

Eine volle Umdrehung lässt sich auf zwei Arten beschreiben. Die Umlaufzeit $T$ ist die Zeit für eine Umdrehung. Die Frequenz $f$ gibt die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde an.

Beide Größen sind Kehrwerte voneinander:

Wenn die Umlaufzeit kleiner ist, vollendet das Objekt eine Umdrehung schneller. Dadurch sind seine Frequenz und sein Winkelgeschwindigkeitsbetrag $\lvert\omega\rvert$ größer. Das Vorzeichen von $\omega$ erfasst getrennt davon die Drehrichtung.

Geschwindigkeit und Beschleunigung zeigen in verschiedene Richtungen

An jedem Punkt der Kreisbahn zeigt die Geschwindigkeit tangential zum Kreis. Die Zentripetalbeschleunigung ist dagegen zum Mittelpunkt gerichtet. Beide Richtungen stehen senkrecht aufeinander. Deshalb kann sich ein Objekt mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag bewegen und dennoch beschleunigt sein.

Stell dir ein kleines Objekt auf der rechten Seite des Kreises vor, das sich gegen den Uhrzeigersinn bewegt. Seine Geschwindigkeit zeigt entlang der Bahn nach oben, während seine Beschleunigung nach links zum Mittelpunkt zeigt. Dieses Richtungspaar unterscheidet eine Kreisbewegung von einer gewöhnlichen geradlinigen Bewegung.

Tangentialer Geschwindigkeitsbetrag und Winkelgeschwindigkeit gehören zusammen

Der tangentiale Geschwindigkeitsbetrag beschreibt, wie schnell sich das Objekt entlang der Kreisbahn bewegt. Bei einem Radius $r$ hat eine volle Runde die Länge $2\pi r$. Da eine Umdrehung die Zeit $T$ benötigt, gilt:

Die Formel $v=\lvert\omega\rvert r$ zeigt, dass zwei Objekte mit demselben Winkelgeschwindigkeitsbetrag nicht unbedingt denselben tangentialen Geschwindigkeitsbetrag besitzen. Das weiter vom Mittelpunkt entfernte Objekt legt in derselben Zeit einen längeren Weg zurück und bewegt sich deshalb schneller.

Zentripetalbeschleunigung zeigt immer nach innen

Auch bei konstantem Geschwindigkeitsbetrag dreht sich der Geschwindigkeitsvektor fortlaufend. Jede Änderung seiner Richtung erfordert eine Beschleunigung. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung heißt sie Zentripetalbeschleunigung.

Die Zentripetalbeschleunigung zeigt stets zum Mittelpunkt des Kreises. Sie wirkt also nicht entlang der Bewegungsbahn: Die Geschwindigkeit verläuft tangential, die Zentripetalbeschleunigung weist nach innen.

Eine volle Umdrehung eines Kleinwagens

Angenommen, ein Kleinwagen bewegt sich auf einer Strecke mit dem Radius $4\text{ m}$ und macht eine Umdrehung in $6\text{ s}$.

Seine Winkelgeschwindigkeit beträgt:

Sein tangentialer Geschwindigkeitsbetrag ist:

Seine Zentripetalbeschleunigung beträgt:

Das Auto bewegt sich also mit einem konstanten Geschwindigkeitsbetrag von etwa $4{,}19\text{ m/s}$. Trotzdem beträgt seine Beschleunigung ungefähr $4{,}39\text{ m/s}^2$, weil sich die Richtung seiner Geschwindigkeit fortlaufend ändert.