Mittlere Geschwindigkeit und mittlere Schnelligkeit

Ein Mittelwert bezieht sich auf ein Zeitintervall

Ein Durchschnittswert fasst die Bewegung über ein vollständiges Zeitintervall zusammen. Dafür werden Anfang, Ende und gesamte Beobachtungszeit betrachtet.

Die mittlere Geschwindigkeit wird aus der Verschiebung berechnet. Weil die Verschiebung eine Richtung hat, besitzt auch die mittlere Geschwindigkeit eine Richtung. Die mittlere Schnelligkeit verwendet dagegen $die tatsächlich zurückgelegte Wegstrecke$ . Sie beschreibt nur, wie schnell der Weg im Mittel zurückgelegt wurde.

Sobald der Weg eine Kurve macht oder zum Ausgangspunkt zurückführt, können Wegstrecke und Verschiebung unterschiedliche Werte haben.

\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}

Das Symbol $\Delta x$ beziehungsweise $\Delta \vec{r}$ bezeichnet die Positionsänderung vom Anfang bis zum Ende. Das Symbol $s_{\text{gesamt}}$ steht für die Länge des gesamten zurückgelegten Weges.

Die Bewegung eines rollenden Balls im Mittel

Beobachte, wie der Ball einer vermessenen Bahn folgt. Vergleiche anschließend die zurückgelegte Wegstrecke mit der Verschiebung vom Start zum Ziel.

Gesamte Wegstrecke: $s_{\text{total}}=16{,}7\text{ m}$
Größe der Verschiebung: $|\Delta \vec r|=14\text{ m}$
Verstrichene Zeit: $\Delta t=5\text{ s}$
Mittlere Schnelligkeit: $\frac{s_{\text{total}}}{\Delta t}=3{,}3\text{ m/s}$
Betrag der mittleren Geschwindigkeit: $\frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t}=2{,}8\text{ m/s}$

Die Werte auf der Karte gehören zu derselben Bahn, die in der Szene eingezeichnet ist. Die grüne Kurve stellt die gesamte Wegstrecke dar. Die violette Gerade zeigt die Verschiebung, denn sie verbindet lediglich Start- und Endposition.

Für die gesamte Wegstrecke wird die grüne Bahn in gerade und gekrümmte Abschnitte zerlegt. Bei einem geraden Abschnitt zählt seine Länge. Bei einem Kreisbogen gilt Radius mal Winkel im Bogenmaß. Danach werden alle Abschnitte addiert und durch dieselbe verstrichene Zeit geteilt.

\begin{aligned} &s_{\text{gesamt}}=\sum L_{\text{Abschnitt}} \\ &L_{\text{Gerade}}=d \\ &L_{\text{Bogen}}=r|\theta| \end{aligned}

Berechne für die Verschiebung zunächst die Änderung jeder Koordinate:

\begin{aligned} &\Delta x=x_{\text{Ende}}-x_{\text{Start}} \\ &\Delta z=z_{\text{Ende}}-z_{\text{Start}} \\ &|\Delta\vec r|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta z)^2} \end{aligned}

Teile die gesamte Wegstrecke und den Betrag der Verschiebung durch dieselbe verstrichene Zeit:

\begin{aligned} &\text{mittlere Schnelligkeit}&=\frac{s_{\text{gesamt}}}{\Delta t} \\ &|\bar{\vec v}|=\frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t} \end{aligned}

Bei der sanften Kurve folgt der Ball der gekrümmten Bahn und legt deshalb etwa $16{,}7 \text{ m}$ zurück. Start und Ziel liegen jedoch nur $14 \text{ m}$ auseinander. Da die Fahrt $5 \text{ s}$ dauert, ergeben sich die mittlere Schnelligkeit und der Betrag der mittleren Geschwindigkeit zu:

\begin{aligned} &s_{\text{gesamt}}\approx 16{,}7\text{ m} \\ &|\Delta \vec r|=14\text{ m} \\ &\Delta t=5\text{ s} \\ &\text{mittlere Schnelligkeit}&\approx \frac{16{,}7}{5} \\ &\approx3{,}3\text{ m/s} \\ &|\bar{\vec v}| =\frac{14}{5} \\ &=2{,}8\text{ m/s} \end{aligned}

Das gleiche Zeitintervall kann verschiedene Fahrten beschreiben

Angenommen, zwei Fahrten dauern beide $3 \text{ s}$ . Die erste Fahrt geht geradeaus $6 \text{ m}$ nach rechts. Die zweite Fahrt geht $6 \text{ m}$ nach rechts und dann $3 \text{ m}$ zurück nach links. Die Zeit ist gleich, aber $Wegstrecke und Verschiebung sind verschieden$ .

Fahrt	Gesamte Wegstrecke	Verschiebung	Aussage der Mittelwerte
Direkt nach rechts	$6 \text{ m}$	$6 \text{ m}$ nach rechts	Mittlere Schnelligkeit und mittlere Geschwindigkeit haben denselben Betrag
Hin und teilweise zurück	$9 \text{ m}$	$3 \text{ m}$ nach rechts	Die mittlere Schnelligkeit ist größer als der Betrag der mittleren Geschwindigkeit

Diese Tabelle zeigt, woher der Unterschied kommt. Die Zeit ändert sich nicht, aber der Zähler in beiden Formeln ändert sich.

Mittlere Schnelligkeit und mittlere Geschwindigkeit auf einem Rückweg

Auf dem Rückweg bewegt sich das Objekt um $6 \text{ m}$ nach rechts und dann um $3 \text{ m}$ nach links in $3 \text{ s}$ .

Die Gesamtstrecke beträgt $9 \text{ m}$ , aber die Verschiebung beträgt nur $3 \text{ m}$ nach rechts.

\text{mittlere Schnelligkeit}=\frac{9}{3}=3\text{ m/s}

Beide Rechnungen verwenden dasselbe Zeitintervall. Der $Unterschied steckt im Zähler$ : Die mittlere Schnelligkeit nutzt den gesamten Weg, die mittlere Geschwindigkeit dagegen die Positionsänderung.

Das Vorzeichen zeigt die Richtung der mittleren Geschwindigkeit

Wenn wir die $Rechtsrichtung als positiv$ wählen, ist die Verschiebung nach rechts positiv und die Verschiebung nach links negativ. Dieses Vorzeichen überträgt sich auf die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Beispielsweise beginnt ein Objekt bei $x=8 \text{ m}$ und endet bei $x=2 \text{ m}$ in $2 \text{ s}$ .

\Delta x=2-8=-6\text{ m}

Ein negativer Wert bedeutet nicht, dass die Bewegung „langsamer als null“ ist. Er zeigt, dass die mittlere Geschwindigkeit relativ zur gewählten Achse nach links gerichtet ist.

Eine Schleife kann eine mittlere Geschwindigkeit von null haben

Kehrt ein Objekt $zu seinem Ausgangspunkt zurück$ , beträgt seine Verschiebung $0 \text{ m}$ . Damit ist auch seine mittlere Geschwindigkeit $0 \text{ m/s}$ , obwohl die mittlere Schnelligkeit weiterhin größer als null sein kann.

Für eine Rundtour hat der Weg dennoch Länge. Aber die Positionsänderung von Anfang bis Ende wird Null, da der Startpunkt und der Endpunkt gleich sind.

Frage	Verwendete Menge	Gefragter Wert
Wie viel Weg wird pro Sekunde zurückgelegt?	Gesamte Wegstrecke	Mittlere Schnelligkeit
Wie stark ändert sich die Position pro Sekunde?	Verschiebung	Mittlere Geschwindigkeit

Prüfe daher vor jeder Rechnung, ob nach Wegstrecke oder Verschiebung gefragt ist. So lassen sich mittlere Schnelligkeit und mittlere Geschwindigkeit zuverlässig auseinanderhalten.