Mittlere Geschwindigkeit und mittlere Schnelligkeit

Ein Durchschnittswert beschreibt keinen einzelnen Augenblick wie eine Tachoanzeige. Man betrachtet den Anfang, das Ende und die gesamte Beobachtungszeit und fragt: „Welche gleichmäßige Bewegung würde zu dieser Fahrt als Ganzes passen?“

Die mittlere Geschwindigkeit wird aus der Verschiebung berechnet. Weil die Verschiebung eine Richtung hat, besitzt auch die mittlere Geschwindigkeit eine Richtung. Die mittlere Schnelligkeit verwendet dagegen die tatsächlich zurückgelegte Wegstrecke. Sie beschreibt nur, wie schnell der Weg im Mittel zurückgelegt wurde.

Sobald der Weg eine Kurve macht oder zum Ausgangspunkt zurückführt, erzählen Wegstrecke und Verschiebung nicht mehr dieselbe Geschichte.

Das Symbol $\Delta x$ beziehungsweise $\Delta \vec{r}$ bezeichnet die Positionsänderung vom Anfang bis zum Ende. Das Symbol $s_{\text{gesamt}}$ steht für die Länge des gesamten zurückgelegten Weges.

Die Werte auf der Karte gehören zu derselben Bahn, die in der Szene eingezeichnet ist. Die grüne Kurve stellt die gesamte Wegstrecke dar. Die violette Gerade zeigt die Verschiebung, denn sie verbindet lediglich Start- und Endposition.

Für die gesamte Wegstrecke wird die grüne Bahn in gerade und gekrümmte Abschnitte zerlegt. Bei einem geraden Abschnitt zählt seine Länge. Bei einem Kreisbogen gilt Radius mal Winkel im Bogenmaß. Danach werden alle Abschnitte addiert und durch dieselbe verstrichene Zeit geteilt.

Bei der sanften Kurve bewegt sich der Ball nicht direkt vom Start zum Ziel. Er folgt der gekrümmten Bahn und legt deshalb etwa $16{,}7 \text{ m}$ zurück. Start und Ziel liegen jedoch nur $14 \text{ m}$ auseinander. Da die Fahrt $5 \text{ s}$ dauert, ergeben sich die mittlere Schnelligkeit und der Betrag der mittleren Geschwindigkeit zu:

Das gleiche Zeitintervall kann verschiedene Fahrten beschreiben

Angenommen, zwei Fahrten dauern beide $3 \text{ s}$. Die erste Fahrt geht geradeaus $6 \text{ m}$ nach rechts. Die zweite Fahrt geht $6 \text{ m}$ nach rechts und dann $3 \text{ m}$ zurück nach links. Die Zeit ist gleich, aber Wegstrecke und Verschiebung sind verschieden.

Diese Tabelle zeigt, woher der Unterschied kommt. Die Zeit ändert sich nicht, aber der Zähler in der Formel ändert sich.

Ein Rückweg trennt die beiden Werte

Auf dem Rückweg bewegt sich das Objekt um $6 \text{ m}$ nach rechts und dann um $3 \text{ m}$ nach links in $3 \text{ s}$.

Die Gesamtstrecke beträgt $9 \text{ m}$, aber die Verschiebung beträgt nur $3 \text{ m}$ nach rechts.

Beide Rechnungen verwenden dasselbe Zeitintervall. Der Unterschied steckt im Zähler: Die mittlere Schnelligkeit nutzt den gesamten Weg, die mittlere Geschwindigkeit dagegen die Positionsänderung.

Das Vorzeichen zeigt die Richtung der mittleren Geschwindigkeit

Wenn wir die Rechtsrichtung als positiv wählen, ist die Verschiebung nach rechts positiv und die Verschiebung nach links negativ. Dieses Vorzeichen überträgt sich auf die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Beispielsweise beginnt ein Objekt bei $x=8 \text{ m}$ und endet bei $x=2 \text{ m}$ in $2 \text{ s}$.

Ein negativer Wert bedeutet nicht, dass die Bewegung „langsamer als null“ ist. Er zeigt, dass die mittlere Geschwindigkeit relativ zur gewählten Achse nach links gerichtet ist.

Eine Schleife kann eine mittlere Geschwindigkeit von null haben

Kehrt ein Objekt zu seinem Ausgangspunkt zurück, beträgt seine Verschiebung $0 \text{ m}$. Damit ist auch seine mittlere Geschwindigkeit $0 \text{ m/s}$, obwohl die mittlere Schnelligkeit weiterhin größer als null sein kann.

Für eine Rundtour hat der Weg dennoch Länge. Aber die Positionsänderung von Anfang bis Ende wird Null, da der Startpunkt und der Endpunkt gleich sind.

Prüfe daher vor jeder Rechnung, ob nach Wegstrecke oder Verschiebung gefragt ist. So lassen sich mittlere Schnelligkeit und mittlere Geschwindigkeit zuverlässig auseinanderhalten.