Verschiebung und Wegstrecke

Weglänge und Positionsänderung

Wenn sich ein Objekt von einem Startpunkt zu einem Endpunkt bewegt, können zwei Größen ähnlich klingen, aber unterschiedliche Bedeutungen haben: $Wegstrecke$ und $Verschiebung$ .

Die $Wegstrecke$ ist die Gesamtlänge des zurückgelegten Weges. Macht der Weg eine Kurve, zählt jeder Abschnitt dieser Kurve mit. Die $Verschiebung$ ist dagegen die Positionsänderung vom Anfang bis zum Ende. Sie hängt nur von Startpunkt, Endpunkt und Richtung ab.

\begin{aligned} s&=\text{Weglänge} \\ \Delta \vec{r}&=\vec{r}_{\text{Ende}}-\vec{r}_{\text{Start}} \end{aligned}

Dabei bedeutet $s$ die gesamte Weglänge, während $\Delta \vec{r}$ die Positionsänderung vom Anfang bis zum Ende bedeutet.

Bei einer zweidimensionalen Bewegung wird die Verschiebung als gerade Linie vom Startpunkt zum Endpunkt gezeichnet.

Für die Wegstrecke werden alle tatsächlich zurückgelegten Abschnitte addiert. Die Verschiebung misst nur die Änderung vom Startpunkt zum Endpunkt.

Pfadlänge und Verschiebung

Wähle eine Route und vergleiche den zurückgelegten Weg mit der geradlinigen Verschiebung vom Start zum Ziel.

Zurückgelegte Wegstrecke: $s=7\text{ m}$
Größe der Verschiebung: $|\Delta\vec{r}|=5\text{ m}$
Verschiebungsvektor: $\Delta\vec{r}=4\hat{i}+3\hat{j}\text{ m}$
Was ändert sich: Die Wegstrecke ist länger, weil das Auto der Kurve folgt.

Umwege verändern die Wegstrecke

Vergleiche zwei Wege, auf denen ein Objekt vom selben Startpunkt zum selben Ziel gelangt. Auf der geraden Route ist die Wegstrecke genauso groß wie der Betrag der Verschiebung. Ein Umweg verlängert die Wegstrecke, während die Verschiebung weiterhin durch die Gerade vom Start zum Ziel bestimmt wird.

Wähle in der Simulation zuerst die Route mit Kurve und dann die Rückkehr zum Start. Vergleiche $Wegstrecke$ und $Verschiebungsbetrag$ . Bei der Rückkehr hat der zurückgelegte Weg weiterhin eine Länge, während die Verbindung zwischen Anfangs- und Endposition die Länge null hat.

Die Wegstrecke beschreibt die Länge des Weges

Die Wegstrecke ist $immer null oder positiv$ . Sie beantwortet die Frage: „Wie lang ist der zurückgelegte Weg?“ Eine Richtung gehört daher nicht zu ihr.

Wenn sich ein Objekt um $4 \text{ m}$ nach Osten und dann um $3 \text{ m}$ nach Süden bewegt, beträgt die Wegstrecke:

s=4 \text{ m}+3 \text{ m}=7 \text{ m}

Das Symbol $s$ wird häufig für die zurückgelegte Strecke verwendet.

Die Verschiebung hat Betrag und Richtung

Verschiebung ist eine Vektorgröße. Das bedeutet, dass die Verschiebung Betrag und Richtung hat. Für das Beispiel $4 \text{ m}$ nach Osten und dann $3 \text{ m}$ nach Süden ist der Verschiebungsbetrag die Länge der geraden Verbindung vom Anfang bis zum Ende:

\begin{aligned} |\Delta \vec{r}|&=\sqrt{(4 \text{ m})^2+(3 \text{ m})^2} \\ &=\sqrt{16+9}\text{ m} \\ &=\sqrt{25}\text{ m}=5\text{ m} \end{aligned}

Die Richtung der Verschiebung $zeigt geradlinig vom Startpunkt zum Endpunkt$ .

Rückkehr zum Ausgangspunkt

Wenn ein Objekt eine Runde zurücklegt und zum Startpunkt zurückkehrt, ist die Wegstrecke nicht null, da ein Weg zurückgelegt wurde. Die Verschiebung ist jedoch null, weil $Anfangs- und Endposition gleich$ sind.

Fahrt	Wegstrecke	Verschiebung
Vom Anfang bis zum Ziel auf geradem Weg	gleich der Geraden	Linie von Anfang bis Ende
Vom Anfang bis zum Ziel auf Umwegen	länger	immer noch die Linie von Anfang bis Ende
Rund um eine Schleife zurück zum Start	nicht Null	$0$

Die Wegstrecke gibt somit die Länge des tatsächlich zurückgelegten Weges an, während die Verschiebung die gesamte Positionsänderung beschreibt.

Wegstrecke und Verschiebung auf einer abgewinkelten Route

Ein Schüler geht $8 \text{ m}$ nach Osten und dann $6 \text{ m}$ nach Norden. Die zurückgelegte Strecke beträgt:

s=8 \text{ m}+6 \text{ m}=14 \text{ m}

Der Verschiebungsbetrag beträgt:

\begin{aligned} |\Delta \vec{r}|&=\sqrt{(8 \text{ m})^2+(6 \text{ m})^2} \\ &=\sqrt{64+36}\text{ m} \\ &=\sqrt{100}\text{ m}=10\text{ m} \end{aligned}

Die Wegstrecke beträgt $14 \text{ m}$ , der Betrag der Verschiebung dagegen $10 \text{ m}$ . Die Werte unterscheiden sich, weil der tatsächlich zurückgelegte Weg nicht mit der $geraden Verbindung vom Start zum Ziel$ übereinstimmt.