Vertikale Bewegung

Eine vertikale Achse benötigt eine positive Richtung

Vertikale Bewegung ist eine Aufwärts- oder Abwärtsbewegung entlang $einer senkrechten Geraden$ . Um die Zeichen klar zu halten, wählen wir nach oben als positiv und nach unten als negativ.

Im Modell des freien Falls nahe der Erdoberfläche wird die Gravitationsbeschleunigung als $-g$ geschrieben, weil sie bei dieser Vorzeichenkonvention nach unten zeigt.

y=y_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^2

Diese Gleichungen modellieren eine Bewegung nahe der Erdoberfläche mit konstantem $g$ und ohne Luftwiderstand. Der Standardwert beträgt $g_n=9{,}80665\text{ m/s}^2$ . Für einfachere Rechnungen von Hand wird $g=10\text{ m/s}^2$ verwendet.

Ball in vertikaler Bewegung

Wähle den Anfangszustand des Balls und beobachte, wie die Gravitation seine Höhe und Geschwindigkeit verändert.

Ausgangszustand: $v_0=20\text{ m/s},\quad y_0=0\text{ m}$
Höchster Punkt: $20\text{ m}$
Bewegungszeit: $4\text{ s}$
Endgeschwindigkeit: $-20\text{ m/s}$

Die Gravitation wirkt auch während des Aufstiegs

Wird ein Objekt nach oben geworfen, ist seine Anfangsgeschwindigkeit positiv. Danach $verringert die Gravitation seine Vertikalgeschwindigkeit$ , bis das Objekt am höchsten Punkt für einen Moment stillsteht.

Am höchsten Punkt ist die Vertikalgeschwindigkeit vorübergehend Null, die Erdbeschleunigung zeigt jedoch immer noch nach unten.

Am höchsten Punkt verschwindet die Erdbeschleunigung nicht. Die Vertikalgeschwindigkeit ist dort für einen Moment null, während die Beschleunigung weiterhin $-g$ beträgt.

Ein Aufwärtswurf stoppt für einen Moment

Angenommen, ein Ball wird mit der Anfangsgeschwindigkeit $20\text{ m/s}$ von der Position $y_0=0$ nach oben geworfen. Verwende $g=10\text{ m/s}^2$ . Am höchsten Punkt beträgt seine Vertikalgeschwindigkeit $v_y=0$ .

v_y=v_0-gt

Die $maximale Höhe über dem Startpunkt$ kann aus der Positionsgleichung ermittelt werden.

\begin{aligned} y-y_0&=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\\ &=20(2)-\frac{1}{2}(10)(2^2)\\ &=20\text{ m} \end{aligned}

Der Ball benötigt also $2\text{ s}$ , um den höchsten Punkt zu erreichen, und steigt $20\text{ m}$ über seinen Startpunkt.

Das Zeichen der Geschwindigkeit lesen

Das Vorzeichen von $v_y$ gibt die $Bewegungsrichtung in diesem Moment$ an. Ein positiver Wert bedeutet eine Bewegung nach oben, ein negativer Wert eine Bewegung nach unten und null einen momentanen Stillstand.

Die Höhe $y$ gibt nicht automatisch die Bewegungsrichtung an. Ein Objekt kann sich beim Aufstieg und beim Abstieg auf derselben Höhe befinden, doch die Vorzeichen seiner Geschwindigkeit sind verschieden.

Für denselben Aufwärtswurf setzen wir die Zeiten in $y=20t-5t^2$ und $v_y=20-10t$ ein. Bei $t=1\text{ s}$ erhalten wir beispielsweise $y=20-5=15\text{ m}$ und $v_y=20-10=10\text{ m/s}$ .

Zeit	Höhe	Vertikalgeschwindigkeit	Bewegung
$0\text{ s}$	$0\text{ m}$	$20\text{ m/s}$	Aufwärts
$1\text{ s}$	$15\text{ m}$	$10\text{ m/s}$	Aufwärts
$2\text{ s}$	$20\text{ m}$	$0\text{ m/s}$	Momentaner Stillstand
$3\text{ s}$	$15\text{ m}$	$-10\text{ m/s}$	Abwärts
$4\text{ s}$	$0\text{ m}$	$-20\text{ m/s}$	Unmittelbar vor der Rückkehr zur Abwurfhöhe

Ein Ball wird aus einer Höhe fallen gelassen

Angenommen, ein Ball wird aus einer Höhe von $20\text{ m}$ $ohne Anfangsgeschwindigkeit$ fallen gelassen. Mit $g=10\text{ m/s}^2$ beträgt die Zeit bis zum Erreichen des Bodens:

\begin{aligned} 0&=20-\frac{1}{2}(10)t^2\\ 5t^2&=20\\ t^2&=4\\ t&=\sqrt{4}=2\text{ s} \end{aligned}

Die Geschwindigkeit kurz vor Erreichen des Bodens beträgt:

v_y=0-10(2)=-20\text{ m/s}

Das negative Vorzeichen zeigt die Abwärtsrichtung an. Der Geschwindigkeitsbetrag ist $20\text{ m/s}$ , die Bewegungsrichtung jedoch abwärts.

Dieses Beispiel zeigt, warum das Vorzeichen bei vertikaler Bewegung nicht ignoriert werden darf. Der Geschwindigkeitsbetrag gibt an, wie schnell sich der Ball bewegt, während das Vorzeichen die Bewegungsrichtung angibt.

Von der vertikalen Bewegung zur Projektilbewegung

Dieselben Gleichungen des freien Falls beschreiben die vertikale Komponente eines geworfenen Balls, eines Projektils oder eines Wasserstrahls. Beim schrägen Wurf bleibt die $horizontale Geschwindigkeit konstant$ , während die vertikale Geschwindigkeit sich nach den Gleichungen der Gravitation ändert.