Vektoren mithilfe der Trigonometrie zerlegen

Bildet ein Vektor mit einer Achse einen Winkel, lassen sich seine Komponenten trigonometrisch bestimmen. Dabei ist der schräge Vektor die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Seine horizontale und vertikale Komponente bilden die beiden Katheten.

Wird der Winkel $\theta$ von der positiven $x$-Achse aus gemessen, ist die horizontale Komponente die Ankathete. Die vertikale Komponente ist die Gegenkathete.

Die Zuordnung von $\sin$ und $\cos$ sollte nicht blind auswendig gelernt werden. Entscheidend ist immer der Bezugswinkel.

Eine schräge Kraft im Koordinatensystem

Ein Seil zieht eine Kiste mit der schräg nach rechts oben gerichteten Kraft $\vec{F}$. Die Kraft besitzt einen horizontalen Anteil, der die Kiste nach rechts zieht, und einen vertikalen Anteil, der sie leicht anhebt.

Werden $F_x$ und anschließend $F_y$ aneinandergefügt, wird derselbe Endpunkt wie mit dem Vektor $\vec{F}$ erreicht. Die Komponenten sind also keine zusätzlichen Kräfte, sondern eine andere Darstellung derselben Kraft.

Eine schräge Kraft in Komponenten umwandeln

Eine Kraft von $50\text{ N}$ wirkt unter einem Winkel von $37^\circ$ über der Horizontalen. Näherungsweise gelten $\cos37^\circ\approx0{,}8$ und $\sin37^\circ\approx0{,}6$.

Die schräge Kraft von $50\text{ N}$ entspricht damit einer horizontalen Komponente von $40\text{ N}$ nach rechts und einer vertikalen Komponente von $30\text{ N}$ nach oben.

Diese beiden Komponenten kommen nicht als weitere Kräfte hinzu. Sie beschreiben dieselbe Kraft lediglich getrennt nach horizontaler und vertikaler Richtung.

Wenn der Winkel von der vertikalen Achse gemessen wird

Mit dem Bezugswinkel ändert sich auch die Zuordnung. Wird $\theta$ von der $y$-Achse aus gemessen, ist $F_y$ die anliegende Komponente.

Vor dem Einsetzen sollte deshalb immer geklärt werden: Von welcher Achse aus wird der Winkel gemessen? Diese kurze Prüfung verhindert einen häufigen Fehler bei der Vektorzerlegung.

Die Vorzeichen der Komponenten folgen dem Quadranten

Ist $\theta$ der vollständige Standardwinkel, der von der positiven $x$-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, liefern $\cos\theta$ und $\sin\theta$ bereits die Vorzeichen der Komponenten. Wird stattdessen ein spitzer Bezugswinkel verwendet, werden zunächst die Komponentenbeträge berechnet und anschließend die Vorzeichen aus dem Quadranten bestimmt.

Zeigt eine Kraft nach links oben, ist ihre horizontale Komponente negativ, weil sie der positiven $x$-Richtung entgegenwirkt. Die vertikale Komponente bleibt dagegen positiv.