Vektoren mithilfe der Trigonometrie zerlegen

Der Winkel bestimmt die Komponenten

Bildet ein Vektor mit einer Achse einen Winkel, lassen sich seine Komponenten trigonometrisch bestimmen. Dabei ist der schräge Vektor $die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks$ . Seine horizontale und vertikale Komponente bilden die beiden Katheten.

Für einen Vektor im ersten Quadranten messen wir $\theta$ von der positiven $x$ -Achse aus. Die horizontale Komponente ist die Ankathete, die vertikale die Gegenkathete. Teile für den Vektorbetrag $F>0$ jede Kathete durch die Hypotenuse und multipliziere anschließend wieder mit $F$ .

\cos\theta=\frac{F_x}{F}\quad\Rightarrow\quad F_x=F\cos\theta

Bestimme zuerst die Ankathete zum Bezugswinkel für $\cos$ und anschließend die Gegenkathete für $\sin$ .

Eine schräge Kraft im Koordinatensystem

Ein Seil zieht eine Kiste mit der schräg nach rechts oben gerichteten Kraft $\vec{F}$ . Die Kraft besitzt $Komponenten nach rechts und nach oben$ . Die Komponente nach oben hebt die Kiste nicht zwingend an: Ihre Bewegung hängt auch von der Gewichtskraft und der Normalkraft des Bodens ab.

Eine schräge Kraft auflösen

Die Kraft

F=50\text{ N}

bildet einen Winkel von

37^\circ

mit der Horizontalen. Ihre Komponenten lassen sich daher mit

\cos37^\circ

und

\sin37^\circ

abschätzen.

Jede Koordinateneinheit im Modell entspricht $10\text{ N}$ . Werden $F_x$ und anschließend $F_y$ aneinandergefügt, wird derselbe Endpunkt wie mit dem Vektor $\vec{F}$ erreicht. Die Komponenten stellen also dieselbe Kraft in zwei Richtungen dar.

Komponenten der Zugkraft berechnen

Eine Kraft von $50\text{ N}$ wirkt unter einem Winkel von $37^\circ$ über der Horizontalen. Als $trigonometrische Näherungen$ gelten $\cos37^\circ\approx0{,}8$ und $\sin37^\circ\approx0{,}6$ .

\begin{aligned} F_x&=F\cos\theta \\ &\approx50(0{,}8) \\ &=40\text{ N} \end{aligned}

Die schräge Kraft von $50\text{ N}$ hat mit dieser Rundung näherungsweise eine horizontale Komponente von $40\text{ N}$ nach rechts und eine vertikale Komponente von $30\text{ N}$ nach oben.

Ohne vorzeitiges Runden erhältst du etwa $39{,}93\text{ N}$ und $30{,}09\text{ N}$ . Das Modell verwendet den Winkel $37^\circ$ direkt. Seine Koordinaten sind daher nicht genau $4$ und $3$ .

Wenn der Winkel von der vertikalen Achse gemessen wird

Die Kraft bleibt im ersten Quadranten, aber wir messen den $Winkel von der positiven vertikalen Achse$ zur Kraft. Jetzt ist $F_y$ die Ankathete zum Winkel $\theta$ , während $F_x$ die Gegenkathete ist.

F_y=F\cos\theta

Vor dem Einsetzen sollte deshalb immer geklärt werden: Von welcher Achse aus wird der Winkel gemessen? Diese kurze Prüfung verhindert einen häufigen Fehler bei der Vektorzerlegung.

Die Vorzeichen der Komponenten folgen dem Quadranten

Ist $\theta$ der $vollständige Standardwinkel$ , der von der positiven $x$ -Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, liefern $\cos\theta$ und $\sin\theta$ bereits die Vorzeichen der Komponenten. Bei einem spitzen Bezugswinkel berechnest du zuerst die Komponentenbeträge und bestimmst ihre Vorzeichen anschließend aus dem Quadranten.

Vektorrichtung	Vorzeichen von $F_x$	Vorzeichen von $F_y$
rechts oben	positiv	positiv
links oben	negativ	positiv
unten und links	negativ	negativ
rechts unten	positiv	negativ

Zeigt eine Kraft nach links oben, ist ihre horizontale Komponente negativ, weil sie der positiven $x$ -Richtung entgegenwirkt. Die vertikale Komponente bleibt dagegen positiv.