Bildet ein Vektor mit einer Achse einen Winkel, lassen sich seine Komponenten trigonometrisch bestimmen. Dabei ist der schräge Vektor die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Seine horizontale und vertikale Komponente bilden die beiden Katheten.
Für einen Vektor im ersten Quadranten messen wir von der positiven -Achse aus. Die horizontale Komponente ist die Ankathete, die vertikale die Gegenkathete. Teile für den Vektorbetrag jede Kathete durch die Hypotenuse und multipliziere anschließend wieder mit .
θ
x
F>0
F
cosθ=FFx⇒Fx=Fcosθ
sinθ=FFy⇒Fy=Fsinθ
Bestimme zuerst die Ankathete zum Bezugswinkel für cos und anschließend die Gegenkathete für sin.
Ein Seil zieht eine Kiste mit der schräg nach rechts oben gerichteten Kraft F. Die Kraft besitzt Komponenten nach rechts und nach oben. Die Komponente nach oben hebt die Kiste nicht zwingend an: Ihre Bewegung hängt auch von der Gewichtskraft und der Normalkraft des Bodens ab.
Eine schräge Kraft auflösen
Die Kraft F=50 N bildet einen Winkel von 37∘ mit der Horizontalen. Ihre Komponenten lassen sich daher mit cos37∘ und sin37∘ abschätzen.
Jede Koordinateneinheit im Modell entspricht 10 N. Werden Fx und anschließend Fy aneinandergefügt, wird derselbe Endpunkt wie mit dem Vektor F erreicht. Die Komponenten stellen also dieselbe Kraft in zwei Richtungen dar.
Eine Kraft von 50 N wirkt unter einem Winkel von 37∘ über der Horizontalen. Als trigonometrische Näherungen gelten cos37∘≈0,8 und sin37∘≈0,6.
Fx=Fcosθ≈50(0,8)=40 N
Fy=Fsinθ≈50(0,6)=30 N
Die schräge Kraft von 50 N hat mit dieser Rundung näherungsweise eine horizontale Komponente von 40 N nach rechts und eine vertikale Komponente von 30 N nach oben.
Ohne vorzeitiges Runden erhältst du etwa 39,93 N und 30,09 N. Das Modell verwendet den Winkel 37∘ direkt. Seine Koordinaten sind daher nicht genau 4 und 3.
Die Kraft bleibt im ersten Quadranten, aber wir messen den Winkel von der positiven vertikalen Achse zur Kraft. Jetzt ist Fy die Ankathete zum Winkel θ, während Fx die Gegenkathete ist.
Fy=Fcosθ
Fx=Fsinθ
Vor dem Einsetzen sollte deshalb immer geklärt werden: Von welcher Achse aus wird der Winkel gemessen? Diese kurze Prüfung verhindert einen häufigen Fehler bei der Vektorzerlegung.
Ist θ der vollständige Standardwinkel, der von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, liefern cosθ und sinθ bereits die Vorzeichen der Komponenten. Bei einem spitzen Bezugswinkel berechnest du zuerst die Komponentenbeträge und bestimmst ihre Vorzeichen anschließend aus dem Quadranten.
Vektorrichtung
Vorzeichen von Fx
Vorzeichen von Fy
rechts oben
positiv
positiv
links oben
negativ
positiv
unten und links
negativ
negativ
rechts unten
positiv
negativ
Zeigt eine Kraft nach links oben, ist ihre horizontale Komponente negativ, weil sie der positiven x-Richtung entgegenwirkt. Die vertikale Komponente bleibt dagegen positiv.
