Set 2

Jika garis singgung kurva $y = x^3 - 3x^2 - 9x$ di titik $(a, b)$ mempunyai gradien $15$ , maka nilai $a + b$ yang mungkin adalah....

Diketahui $x^2 + 2xy + 4x = -3$ dan $9y^2 + 4xy + 12y = -1$ . Nilai dari $x + 3y$ adalah....

Jika bilangan bulat $p$ merupakan akar $f(x) = 0$ dengan $f(x) = px^2 - 3x - p - 3$ , maka gradien garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik dengan absis $x = p$ adalah....

Jika $(p, q)$ merupakan titik puncak grafik fungsi $f(x) = ax^2 + 2ax + a + 1$ , dengan $f(a) = 19$ , maka $p + 2q + 3a = ....$

Diberikan garis lurus melalui $(0, -2)$ dan $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ . Jarak parabola $y = x^2 - 1$ ke garis tersebut adalah....

Pembahasan

Membuat persamaan garis dari titik yang dilaluinya yaitu $(0, -2)$ dan $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}

\frac{y - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{x - 0}{\frac{3}{2} - 0}

\frac{y + 2}{2} = \frac{2x}{3}

3y + 6 = 4x

-4x + 3y + 6 = 0

Gak bisa langsung mencari jarak titik ke garis. Cari titik yang posisinya terdekat dari garis. Anggap aja titiknya $(a, b)$ sehingga

y = x^2 - 1

b = a^2 - 1

Titik tersebut menjadi $(a, a^2 - 1)$ seperti pada ilustrasi berikut

Visualisasi Parabola dan Garis

Grafik menunjukkan parabola

y = x^2 - 1

dan garis

-4x + 3y + 6 = 0

dengan titik terdekat

\left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{9}\right)

Kita perlu menentukan jarak dari titik $(a, a^2 - 1)$ ke garis $-4x + 3y + 6 = 0$

jarak = \frac{|-4x + 3y + 6|}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}}

f(a) = \frac{|-4a + 3(a^2 - 1) + 6|}{5}

f(a) = \frac{|3a^2 - 4a + 3|}{5}

f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3)

Syarat nilai minimum adalah $f'(x) = 0$

f'(a) = \frac{1}{5}(6a - 4)

f'(a) = 0

\frac{1}{5}(6a - 4) = 0

6a = 4

a = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Jarak garis dan parabola saat $a = \frac{2}{3}$

f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3)

f(a) = \frac{1}{5}\left(3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 3\right)

f(a) = \frac{1}{5}\left(\frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{9}{3}\right)

f(a) = \frac{1}{5}\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{3}

Diketahui sebuah barisan $-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16}, ...$ , suku ke $12$ dari barisan tersebut adalah....

$\frac{1}{2^{11}}$

$\frac{1}{2^{12}}$

$\frac{3}{2^{11}}$

$\frac{3}{2^{12}}$

$\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}}$

Diketahui sebuah barisan $0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64}, ...$ , maka suku ke $12$ barisan tersebut adalah....

$\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}}$

$\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}}$

$\frac{1}{2^{11}}$

$\frac{1}{2^{22}}$

$\frac{3}{2^{12}}$

Diketahui sebuah barisan $0, \frac{5}{6}, \frac{5}{36}, \frac{35}{216}, ...$ , suku ke $12$ dari barisan tersebut adalah....

$\frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}}$

$\frac{1}{2^{11}} - \frac{2}{3^{11}}$

$\frac{3}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}}$

$\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}}$

$\frac{2}{2^{11}} + \frac{3}{3^{11}}$

Suatu barisan geometri mempunyai $3$ suku pertama $a, b, b^2$ . Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 + kx + 6 = 0$ . Maka suku keempat dari barisan dan nilai $k$ masing-masing adalah....

$27 \text{ dan } -8$

$27 \text{ dan } 8$

$24 \text{ dan } -8$

$24 \text{ dan } -4$

$24 \text{ dan } 4$

Misalkan $x_1$ dan $x_2$ bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - (2k + 4)x + (3k + 4) = 0$ . Jika $x_1, k, x_2$ merupakan tiga suku pertama suatu deret geometri, maka rumus suku ke- $n$ deret tersebut adalah....

\lim_{x \to \infty} (5^x + 5^{3x})^{\frac{1}{x}} = ....

Diberikan $f(x) = \sin^2 x$ . Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x)$ , maka

\lim_{h \to \infty} h \left[f'\left(x + \frac{1}{h}\right) - f'(x)\right] = ....

Diketahui $f(x) = \sqrt{1 + x}$ . Nilai $\lim_{h \to 0} \frac{f(3 + 2h^2) - f(3 - 3h^2)}{h^2}$ adalah....

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \sin x - \tan x}{x^2 \sin x} = ....

Jika $\lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax} + \frac{1}{3}}{bx^3 + 27} = -\frac{1}{3^5}$ , nilai $a + b$ untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif adalah....

Jika $\log_{a^2}(3^a - 8)^{-4} \cdot \log_3 \sqrt{a} = a - 2$ , maka $\log_a\left(\frac{1}{8}\right) = ....$

Jika $(\log_2 x)^2 - (\log_2 y)^2 = \log_2 256$ dan $\log_2 x^2 - \log_2 y^2 = \log_2 16$ . Maka nilai dari $\log_2 x^6 y^{-2}$ adalah....

Jika $2 \log_4 x - \log_4(4x + 3) = -1$ , maka $\log_2 x = ....$

$\log_2 3 - 1$

$\log_2 3$

$1 - \log_2 3$

$-1 - \log_2 3$

$\log_2 3 + \log_3 2$

Jika $a$ memenuhi persamaan $\log_2 2x + \log_3 3x = \log_4 4x^2$ , maka nilai dari $\log_a 3 = ....$

Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $\log_3 x - \log_x\left(2x - 4 + \frac{4}{x}\right) = 1$ , maka $\alpha + \beta = ....$

Jika $b > a$ , nilai $x$ yang memenuhi $|x - 2a| + a \leq b$ adalah....

$3a \leq x \leq 2b + a$

$x \geq -b + 3a$

$x \leq b + a$

$b - 3a \leq x \leq -b + a$

$-b + 3a \leq x \leq b + a$

Himpunan penyelesaian $9 - x^2 \geq |x + 3|$ adalah....

$\{x \in R: -3 \leq x \leq 3\}$

$\{x \in R: -3 \leq x \leq 2\}$

$\{x \in R: x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2\}$

$\{x \in R: 0 \leq x \leq 2\}$

$R$

Himpunan penyelesaian $16 - x^2 \leq |x + 4|$ adalah....

$\{x \in R: -4 \leq x \leq 4\}$

$\{x \in R: -4 \leq x \leq 3\}$

$\{x \in R: x \leq -4 \text{ atau } x \geq 4\}$

$\{x \in R: 0 \leq x \leq 3\}$

$\{x \in R: x \leq -4 \text{ atau } x \geq 3\}$

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\log|x + 1| \geq \log 3 + \log|2x - 1|$ adalah....

$\left\{\frac{2}{7} < x < \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\right\}$

$\left\{\frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\right\}$

$\left\{\frac{2}{5} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{3}\right\}$

$\left\{\frac{1}{5} \leq x < \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{7}\right\}$

$\left\{x \leq \frac{4}{5} \vee x \geq \frac{1}{5}, x \neq \frac{3}{5}\right\}$

Banyaknya bilangan riil $x$ yang memenuhi persamaan $|x^2 - 4| = x + |x - 2|$ adalah....

Pembahasan

Definisikan nilai mutlak yang pertama untuk $|x - 2|$ .

$x - 2$ bernilai positif untuk $x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 0$ .

$x - 2$ bernilai negatif untuk $x - 2 < 0 \rightarrow x < 2$ .

Maka definisinya

|x - 2| = \begin{cases} x - 2; \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x - 2); \text{untuk } x < 2 \end{cases}

Untuk $|x^2 - 4|$

$x^2 - 4$ positif untuk $x^2 - 4 \geq 0 \rightarrow x \leq -2 \vee x \geq 0$ .

$x^2 - 4$ negatif untuk $x^2 - 4 < 0 \rightarrow -2 < x < 2$ .

Maka definisinya

|x^2 - 4| = \begin{cases} x^2 - 4; \text{untuk } x \leq -2 \vee x \geq 2 \\ -(x^2 - 4); \text{untuk } -2 < x < 2 \end{cases}

Berdasarkan definisi diatas, bentuk mutlaknya dibatasi oleh $x = -2$ dan $x = 2$ . Artinya ada $3$ kemungkinan daerah/nilai $x$ yaitu

Menyelesaikan soal berdasarkan daerahnya.

Daerah I saat $x < -2$

|x^2 - 4| = x + |x - 2|

x^2 - 4 = x + (-x + 2)

x^2 = 6

x = \pm\sqrt{6}

Karena daerah I merupakan negatif, maka akar yang memenuhi adalah $x_1 = -\sqrt{6}$ .

Daerah II saat $-2 \leq x < 2$

|x^2 - 4| = x + |x - 2|

-x^2 + 4 = x + (-x + 2)

x^2 = 2

x = \pm\sqrt{2}

Karena daerah II mencakup positif dan negatif maka semua akar memenuhi daerah II.

Daerah III saat $x \geq 2$

|x^2 - 4| = x + |x - 2|

x^2 - 4 = x + x - 2

x^2 - 2x - 2 = 0

Tentukan nilai diskriminannya untuk mencari jenis akar-akar.

D = b^2 - 4ac

D = (-2)^2 - 4(1)(-2)

D = 4 + 8

D = 12

Karena $D > 0$ maka akarnya berlainan, satu akar bernilai positif yang memenuhi daerah III.

Sehingga jumlah semua himpunan penyelesaiannya adalah $4$ penyelesaian.

Diketahui fungsi $mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3$ . Agar fungsi tersebut senantiasa berada dibawah sumbu $x$ , maka nilai $m$ yang mungkin adalah....

Jika $x, y, z$ memenuhi sistem persamaan

3x + 2y - z = 3

2x + y - 3z = 4

x - y + 2z = -1

Maka nilai $2x + 2y - 3z =$ ....

Pembahasan

Diketahui sistem persamaan

3x + 2y - z = 3 \quad ...(1)

2x + y - 3z = 4 \quad ...(2)

x - y + 2z = -1 \quad ...(3)

Eliminasi persamaan pertama dan kedua

Kalikan persamaan pertama dengan $3$ dan persamaan kedua dengan $1$ , lalu kurangkan.

3x + 2y - z = 3 \quad |\times 3| \quad 9x + 6y - 3z = 9

2x + y - 3z = 4 \quad |\times 1| \quad 2x + y - 3z = 4 \quad -

7x + 5y = 5 \quad ...(4)

Eliminasi persamaan pertama dan ketiga

Kalikan persamaan pertama dengan $2$ dan persamaan ketiga dengan $1$ , lalu kurangkan.

3x + 2y - z = 3 \quad |\times 2| \quad 6x + 4y - 2z = 6

x - y + 2z = -1 \quad |\times 1| \quad x - y + 2z = -1 \quad -

7x + 3y = 5 \quad ...(5)

Eliminasi persamaan keempat dan kelima

Kurangkan persamaan keempat dengan persamaan kelima untuk mencari nilai $y$ .

7x + 5y = 5

7x + 3y = 5 \quad -

2y = 0

y = 0

Substitusi nilai y

Substitusikan $y = 0$ ke persamaan keempat untuk mencari nilai $x$ .

7x + 5y = 5

7x + 5(0) = 5

7x = 5

x = \frac{5}{7}

Substitusi nilai x dan y

Substitusikan $x = \frac{5}{7}$ dan $y = 0$ ke persamaan ketiga untuk mencari nilai $z$ .

x - y + 2z = -1

\frac{5}{7} - 0 + 2z = -1

2z = -\frac{12}{7}

z = -\frac{6}{7}

Hitung nilai yang ditanyakan

Substitusikan nilai $x = \frac{5}{7}$ , $y = 0$ , dan $z = -\frac{6}{7}$ ke dalam $2x + 2y - 3z$ .

2x + 2y - 3z = 2\left(\frac{5}{7}\right) + 2(0) - 3\left(-\frac{6}{7}\right)

2x + 2y - 3z = \frac{10}{7} - 0 + \frac{18}{7}

2x + 2y - 3z = \frac{28}{7}

2x + 2y - 3z = 4

Jadi, nilai dari $2x + 2y - 3z$ adalah $4$ .

Jika akar-akar persamaan $x^2 - ax + b = 0$ memenuhi persamaan $2x^2 - (a + 3)x + (3b - 2) = 0$ , maka....

$a = 3$
$b = 2$
$2a - 2ab + 3b = 0$
$ab = 5$

$(1), (2), (3)$ SAJA yang benar

$(1)$ dan $(3)$ SAJA yang benar

$(2)$ dan $(4)$ SAJA yang benar

$(4)$ SAJA yang benar

SEMUA pernyataan benar

Jika suatu fungsi $y = \sqrt{x^2 - 7}$ , maka....

$y = \frac{4}{3}x - \frac{7}{3}$ merupakan persamaan garis singgung di $x = 4$
Kurva berbentuk lingkaran berpusat di $(0,0)$
Garis $y = -\frac{3}{4}x + 6$ memotong tegak lurus garis singgung di $x = 4$
$y = \frac{4}{3}x - \frac{25}{3}$ merupakan garis singgung kurva di $(4, -3)$

$(1), (2), (3)$ SAJA yang benar

$(1)$ dan $(3)$ SAJA yang benar

$(2)$ dan $(4)$ SAJA yang benar

$(4)$ SAJA yang benar

SEMUA pernyataan benar

Pembahasan

Diketahui fungsi $y = \sqrt{x^2 - 7}$ . Turunan dari fungsi tersebut adalah

y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 7}}

Menguji pernyataan pertama

Ordinat titik pada kurva yang berabsis $4$ adalah

f(4) = \sqrt{4^2 - 7} = \sqrt{9} = 3

Gradien garis singgung di titik $(4,3)$ dapat dicari dengan mensubstitusi $x = 4$ ke turunan fungsi.

y' = f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 7}}

f'(4) = \frac{4}{\sqrt{4^2 - 7}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}

Dengan gradien $m = \frac{4}{3}$ dan titik $(4,3)$ , persamaan garis singgungnya adalah

y - y_1 = m(x - x_1)

y - 3 = \frac{4}{3}(x - 4)

y - 3 = \frac{4}{3}x - \frac{16}{3}

y = \frac{4}{3}x - \frac{7}{3}

Pernyataan pertama benar.

Menguji pernyataan kedua

Untuk nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi syarat, kuadratkan kedua ruas.

y = \sqrt{x^2 - 7}

y^2 = \left(\sqrt{x^2 - 7}\right)^2

y^2 = x^2 - 7

x^2 - y^2 = 7

Bentuk $x^2 - y^2 = 7$ bukanlah bentuk persamaan lingkaran.

Pernyataan kedua salah.

Menguji pernyataan ketiga

Garis $y = -\frac{3}{4}x + 6$ memiliki gradien $m_1 = -\frac{3}{4}$ .

Dari pernyataan pertama, gradien garis singgung di $x = 4$ adalah $m_2 = \frac{4}{3}$ .

Periksa apakah kedua garis saling tegak lurus dengan mengalikan kedua gradien.

m_1 \cdot m_2 = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = -1

Karena $m_1 \cdot m_2 = -1$ , kedua garis saling tegak lurus.

Pernyataan ketiga benar.

Menguji pernyataan keempat

Periksa apakah kurva melalui titik $(4, -3)$ dengan mensubstitusi nilai $x = 4$ .

y = \sqrt{4^2 - 7} = \sqrt{9} = 3

Kurva tidak melalui titik $(4, -3)$ , tetapi melalui titik $(4,3)$ .

Pernyataan keempat salah.

Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan pertama dan ketiga.

Jika $k$ adalah bilangan asli terkecil sedemikian sehingga dua fungsi kuadrat $f(x) = (k - 1)x^2 + kx - 1$ dan $g(x) = (k - 2)x^2 + x + 2k$ berpotongan di dua titik yang berbeda $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1 + x_2$ dan $y_1 + y_2$ adalah....

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

$x^2 - 10x = 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

$x^2 - 26x - 56 = 0$

Pembahasan

Diketahui dua fungsi kuadrat

f(x) = (k - 1)x^2 + kx - 1, \quad k \neq 1

g(x) = (k - 2)x^2 + x + 2k, \quad k \neq 2

Mencari syarat kedua fungsi berpotongan

Eliminasi $y$ pada kedua fungsi tersebut dengan menyamakan $f(x) = g(x)$ .

(k - 1)x^2 + kx - 1 = (k - 2)x^2 + x + 2k

x^2 + (k - 1)x - (2k + 1) = 0 \quad ...(1)

Syarat agar kedua fungsi berpotongan di dua titik yang berbeda adalah diskriminan harus positif, yaitu $D > 0$ .

D > 0

(k - 1)^2 - 4(1)(-2k - 1) > 0

k^2 - 2k + 1 + 8k + 4 > 0

k^2 + 6k + 5 > 0

(k + 5)(k + 1) > 0

Dari pertidaksamaan $(k + 5)(k + 1) > 0$ , diperoleh $k < -5$ atau $k > -1$ .

Karena $k \neq 1$ dan $k \neq 2$ , maka bilangan asli terkecil yang memenuhi adalah $k = 3$ .

Substitusi nilai k

Substitusi nilai $k = 3$ ke persamaan pertama untuk mencari jumlah akar-akar $x$ .

x^2 + (k - 1)x - (2k + 1) = 0

x^2 + (3 - 1)x - (2(3) + 1) = 0

x^2 + 2x - 7 = 0

Dari persamaan kuadrat tersebut, jumlah akar-akarnya adalah

x_1 + x_2 = -2

Mencari nilai y

Substitusi nilai $k = 3$ ke fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ .

Untuk $f(x)$

f(x) = (k - 1)x^2 + kx - 1

f(3) = (3 - 1)x^2 + 3x - 1

f(3) = 2x^2 + 3x - 1

Untuk $g(x)$

g(x) = (k - 2)x^2 + x + 2k

g(3) = (3 - 2)x^2 + x + 2(3)

g(3) = x^2 + x + 6

Kemudian cari nilai $x$ dengan menghilangkan $x^2$ .

y = 2x^2 + 3x - 1 \quad |\times 1|

y = x^2 + x + 6 \quad |\times 2|

y = 2x^2 + 3x - 1

2y = 2x^2 + 2x + 12 \quad -

-y = x - 13

x = 13 - y

Substitusi $x = 13 - y$ ke $g(x)$ .

y = x^2 + x + 6

y = (13 - y)^2 + (13 - y) + 6

y = 169 - 26y + y^2 + 13 - y + 6

y^2 - 28y + 176 = 0

Dari persamaan kuadrat tersebut, jumlah akar-akarnya adalah

y_1 + y_2 = 28

Membentuk persamaan kuadrat baru

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1 + x_2$ dan $y_1 + y_2$ adalah

x^2 - ((x_1 + x_2) + (y_1 + y_2))x + ((x_1 x_2)(y_1 y_2)) = 0

x^2 - (-2 + 28)x + (-2)(28) = 0

x^2 - 26x - 56 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1 + x_2$ dan $y_1 + y_2$ adalah $x^2 - 26x - 56 = 0$ .

Jika suku banyak $f(x)$ habis dibagi oleh $(x - 1)$ , maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x - 1)(x + 1)$ adalah....

$\frac{-f(-1)}{2}(1 + x)$

$\frac{-f(-1)}{2}(1 - x)$

$\frac{f(-1)}{2}(1 + x)$

$\frac{f(-1)}{2}(1 - x)$

$\frac{f(-1)}{2}(x - 1)$

Jika suku banyak $ax^3 + 2x^2 + 5x + b$ dibagi $(x^2 - 1)$ menghasilkan sisa $(6x + 5)$ , maka $a + 3b$ sama dengan....

Diketahui $p(x)$ dan $g(x)$ adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan $p(10) = m$ dan $g(10) = n$ . Jika $p(x)h(x) = \left(\frac{p(x)}{g(x)} - 1\right)(p(x) + g(x))$ , $h(10) = -\frac{16}{15}$ , maka nilai maksimum dari $|m + n| =$ ....

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $2x^2 - x - 1$ bersisa $4ax - b$ dan dibagi $2x^2 + 3x + 1$ bersisa $-2bx + a - 11$ . Jika $f(x - 2)$ habis dibagi oleh $x - 3$ , maka $a + 2b + 6 =$ ....

Pembahasan

Faktorkan pembagi pertama

2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) = 0

x = -\frac{1}{2} \cup x = 1

Sisa pembagian adalah $s(x) = 4ax - b$ . Akar-akar pembaginya adalah $-\frac{1}{2}$ dan $1$ , sehingga

Untuk $x = -\frac{1}{2}$

f\left(-\frac{1}{2}\right) = s\left(-\frac{1}{2}\right)

f\left(-\frac{1}{2}\right) = 4a\left(-\frac{1}{2}\right) - b

f\left(-\frac{1}{2}\right) = -2a - b \quad ...(1)

Untuk $x = 1$

f(1) = s(1)

f(1) = 4a - b \quad ...(2)

Faktorkan pembagi kedua

Diketahui suku banyak $f(x)$ dengan pembagi $2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1) = 0$ , maka $x = -\frac{1}{2} \cup x = -1$ .

Sisa pembagian adalah $s(x) = -2bx + a - 11$ .

Untuk $x = -\frac{1}{2}$

f\left(-\frac{1}{2}\right) = s\left(-\frac{1}{2}\right)

f\left(-\frac{1}{2}\right) = -2b\left(-\frac{1}{2}\right) + a - 11

f\left(-\frac{1}{2}\right) = a + b - 11 \quad ...(3)

Gunakan kondisi habis dibagi

$f(x - 2)$ habis dibagi oleh $x - 3$ , dengan begitu pembaginya $x - 3 = 0 \rightarrow x = 3$ .

Sisa pembagian adalah $s(x) = 0$ (karena habis dibagi).

x = 3 \rightarrow f(x - 2) = 0

f(3 - 2) = 0

f(1) = 0 \quad ...(4)

Selesaikan sistem persamaan

Dari persamaan kedua dan keempat

4a - b = 0

b = 4a \quad ...(5)

Dari persamaan pertama dan ketiga, serta $b = 4a$

f\left(-\frac{1}{2}\right) = f\left(-\frac{1}{2}\right)

a + b - 11 = -2a - b

3a + 2b = 11

3a + 2(4a) = 11

3a + 8a = 11

11a = 11

a = 1

Substitusi nilai $a = 1$ ke persamaan kelima

b = 4a = 4(1) = 4

Sehingga nilai dari $a + 2b + 6 = 1 + 2(4) + 6 = 15$ .

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^2 + 3x + 2$ bersisa $3bx + a - 2$ dan dibagi $x^2 - 2x - 3$ bersisa $ax - 2b$ . Jika $f(3) + f(-2) = 6$ , maka $a + b =$ ....

Pembahasan

Faktorkan pembagi pertama

Pembaginya adalah $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \rightarrow x = -1 \vee x = -2$ .

Sisa pembagian adalah $s(x) = 3bx + a - 2$ .

Untuk $x = -1$

f(-1) = s(-1)

f(-1) = 3b(-1) + a - 2

f(-1) = -3b + a - 2 \quad ...(1)

Untuk $x = -2$

f(-2) = s(-2)

f(-2) = 3b(-2) + a - 2

f(-2) = -6b + a - 2 \quad ...(2)

Faktorkan pembagi kedua

Pada suku banyak kedua pembaginya adalah $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) \rightarrow x = -1 \vee x = 3$ .

Sisa pembagian adalah $s(x) = ax - 2b$ .

Untuk $x = -1$

f(-1) = s(-1)

f(-1) = a(-1) - 2b

f(-1) = -a - 2b \quad ...(3)

Untuk $x = 3$

f(3) = s(3)

f(3) = a(3) - 2b

f(3) = 3a - 2b \quad ...(4)

Selesaikan sistem persamaan

Dari persamaan pertama dan ketiga akan diperoleh

f(-1) = f(-1)

-3b + a - 2 = -a - 2b

b = 2a - 2 \quad ...(5)

Kemudian persamaan kedua, keempat dan kelima ke bentuk

f(3) + f(-2) = 6

3a - 2b + (-6b + a - 2) = 6

4a - 8b = 8

a - 2b = 2

a - 2(2a - 2) = 2

-3a = -2

a = \frac{2}{3}

Maka nilai $b = 2a - 2 = 2\left(\frac{2}{3}\right) - 2 = -\frac{2}{3}$ .

Sehingga $a + b = \frac{2}{3} + \left(-\frac{2}{3}\right) = 0$ .

Jika sudut $A$ dan $B$ memenuhi sistem persamaan

2 \tan A + \tan B = 4

\tan A - 3 \tan B = -\frac{17}{2}

Maka $\tan(2A + B)$ sama dengan....

Pembahasan

Ingatlah konsep trigonometri untuk penjumlahan sudut

\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}

\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}

Selesaikan sistem persamaan

Dapatkan persamaan pertama dengan mengubah bentuk untuk mencari $\tan B$ .

2 \tan A + \tan B = 4 \rightarrow \tan B = 4 - 2 \tan A

Kemudian substitusi ke persamaan kedua

\tan A - 3 \tan B = -\frac{17}{2}

\tan A - 3(4 - 2 \tan A) = -\frac{17}{2}

\tan A - 12 + 6 \tan A = -\frac{17}{2}

7 \tan A = -\frac{17}{2} + 12

7 \tan A = \frac{7}{2}

\tan A = \frac{1}{2}

Dengan begitu nilai $\tan B = 4 - 2 \tan A = 4 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = 3$ .

Menentukan nilai tan 2A

\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}

\tan(2A) = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right)}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}

\tan(2A) = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

Menentukan nilai tan(2A + B)

\tan(2A + B) = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A \cdot \tan B}

\tan(2A + B) = \frac{\frac{4}{3} + 3}{1 - \frac{4}{3}(3)}

\tan(2A + B) = \frac{\frac{13}{3}}{1 - 4}

\tan(2A + B) = \frac{\frac{13}{3}}{-3}

\tan(2A + B) = -\frac{13}{9}

Jadi, nilai dari $\tan(2A + B)$ adalah $-\frac{13}{9}$ .

Diketahui balok $ABCD.EFGH$ dimana $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm, dan $BF = 4$ cm. Misalkan $\alpha$ adalah sudut antara $AH$ dan $BD$ , maka $\cos 2\alpha =$ ....

Pembahasan

Perhatikan ilustrasi balok berikut.

Balok

ABCD.EFGH

Visualisasi balok dengan dimensi yang diberikan dan garis-garis yang relevan untuk menghitung sudut.

Garis $AH$ dan $BD$ belum berpotongan, sehingga perlu digeser salah satunya agar mereka berpotongan, yaitu geser garis $AH$ ke garis $BG$ (karena $AH$ sejajar $BG$ ), sehingga sudutnya antara garis $BG$ dan $BD$ .

\alpha = \angle(AH, BD) = \angle(BG, BD)

Menentukan panjang segmen

Kemudian menentukan panjang $\triangle BDG$

BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10

DG = \sqrt{CD^2 + CG^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

BG = \sqrt{CB^2 + CG^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}

Gunakan aturan cosinus

Gunakan aturan cosinus pada $\triangle BDG$

\cos \angle DBG = \frac{BD^2 + BG^2 - DG^2}{2 \cdot BD \cdot BG}

\cos \alpha = \frac{10^2 + (4\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{13})^2}{2(10)(4\sqrt{5})}

\cos \alpha = \frac{100 + 80 - 52}{80\sqrt{5}}

\cos \alpha = \frac{128}{80\sqrt{5}}

\cos \alpha = \frac{8}{5\sqrt{5}}

Maka nilai dari $\cos 2\alpha$ dapat dihitung menggunakan rumus sudut ganda

\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1

\cos 2\alpha = 2\left(\frac{8}{5\sqrt{5}}\right)^2 - 1

\cos 2\alpha = 2\left(\frac{64}{125}\right) - 1

\cos 2\alpha = \frac{128}{125} - \frac{125}{125}

\cos 2\alpha = \frac{3}{125}

Jadi, nilai dari $\cos 2\alpha$ adalah $\frac{3}{125}$ .

Fungsi $f(x) = 3 \sin x + 3 \cos x$ yang didefinisikan pada interval $(0, 2\pi)$ mencapai nilai maksimum untuk $x =$ ....

Pembahasan

Ingatlah konsep turunan fungsi trigonometri berikut

y = a \cdot \sin x \rightarrow y' = a \cdot \cos x

y = a \cdot \cos x \rightarrow y' = -a \cdot \sin x

Mencari titik stasioner

Syarat nilai maksimum ketika $f'(x) = 0$ .

f'(x) = 0

3 \cos x - 3 \sin x = 0

3 \cos x = 3 \sin x

\frac{\sin x}{\cos x} = 1

\tan x = 1

Maka nilai $x$ yang memenuhi $\tan x = 1$ yaitu $x = \frac{\pi}{4}$ dan $x = \frac{5\pi}{4}$ .

Menguji nilai maksimum dan minimum

Cek terlebih dahulu mana fungsi yang bernilai maksimum dan minimum.

Untuk nilai $x = \frac{\pi}{4}$

x = \frac{\pi}{4} \rightarrow f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \cos \frac{\pi}{4}

x = \frac{\pi}{4} \rightarrow f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right) + 3\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)

x = \frac{\pi}{4} \rightarrow f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\sqrt{2} \text{ (maks)}

Untuk nilai $x = \frac{5\pi}{4}$

x = \frac{5\pi}{4} \rightarrow f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 3 \sin \frac{5\pi}{4} + 3 \cos \frac{5\pi}{4}

x = \frac{5\pi}{4} \rightarrow f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 3\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right) + 3\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)

x = \frac{5\pi}{4} \rightarrow f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -3\sqrt{2} \text{ (min)}

Maka nilai maksimum dicapai saat $x = \frac{\pi}{4}$ .

Jika $\begin{bmatrix} \tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 x \\ \sin x \cos x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \frac{1}{2}$ dimana $b = 2a$ , maka $0 \leq x \leq \pi$ yang memenuhi adalah....

$\frac{\pi}{6}$
$\frac{\pi}{12}$
$\frac{5\pi}{6}$
$\frac{5\pi}{12}$

$(1), (2), (3)$ SAJA yang benar

$(1)$ dan $(3)$ SAJA yang benar

$(2)$ dan $(4)$ SAJA yang benar

$(4)$ SAJA yang benar

SEMUA pernyataan benar

Pembahasan

Diketahui matriks

\begin{bmatrix} \tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 x \\ \sin x \cos x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}

Kalikan matriks

Ini merupakan perkalian matriks, sehingga

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tan x \cdot \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x \\ \cos^2 x + \tan x \cdot \sin x \cos x \end{bmatrix}

Ubah $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , menjadi

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x \\ \cos^2 x + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \sin x \cos x \end{bmatrix}

Sederhanakan menjadi

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin x \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos x \\ \cos^2 x + \sin^2 x \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin x \cdot \cos x \\ \sin^2 x + \cos^2 x \end{bmatrix}

Kita tahu bahwa nilai $2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x$ dan nilai $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , maka

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin 2x \\ 1 \end{bmatrix}

Jadi, nilai $a = \sin 2x$ dan $b = 1$ .

Substitusi ke kondisi yang diberikan

Substitusi $b = 1$ ke $b = 2a$ sehingga dapat $a = \frac{1}{2}$ .

Kemudian, substitusi $a = \frac{1}{2}$ ke $a = \sin 2x$ sehingga dapat $\sin 2x = \frac{1}{2}$ .

Nilai $2x$ yang memenuhi adalah

2x_1 = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{atau} \quad 2x_2 = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi

x_1 = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{atau} \quad x_2 = \frac{5\pi}{12} + k\pi

Nilai $x$ yang mememnuhi adalah $\frac{\pi}{12}$ atau $\frac{5\pi}{12}$ .

Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan kedua dan keempat.

Jika $\cos(A + B) = \frac{2}{5}$ , $\cos A \cos B = \frac{3}{4}$ , maka nilai $\tan A \tan B =$ ....

Command Palette

Nomor 1

Pembahasan

Nomor 2

Pembahasan

Nomor 3

Pembahasan

Nomor 4

Pembahasan

Nomor 5

Pembahasan

Nomor 6

Pembahasan

Nomor 7

Pembahasan

Nomor 8

Pembahasan

Nomor 9

Pembahasan

Nomor 10

Pembahasan

Nomor 11

Pembahasan

Nomor 12

Pembahasan

Nomor 13

Pembahasan

Nomor 14

Pembahasan

Nomor 15

Pembahasan

Nomor 16

Pembahasan

Nomor 17

Pembahasan

Nomor 18

Pembahasan

Nomor 19

Pembahasan

Nomor 20

Pembahasan

Nomor 21

Pembahasan

Nomor 22

Pembahasan

Nomor 23

Pembahasan

Nomor 24

Pembahasan

Nomor 25

Pembahasan

Nomor 26

Pembahasan

Nomor 27

Pembahasan

Nomor 28

Pembahasan

Nomor 29

Pembahasan

Nomor 30

Pembahasan

Nomor 31

Pembahasan

Nomor 32

Pembahasan

Nomor 33

Pembahasan

Nomor 34

Pembahasan

Nomor 35

Pembahasan

Nomor 36

Pembahasan

Nomor 37

Pembahasan

Nomor 38

Pembahasan

Nomor 39

Pembahasan