Try Out - Matematika - TKA

Jika garis singgung kurva $y = x^3 - 3x^2 - 9x$ di titik $(a, b)$ mempunyai gradien $15$ , maka nilai $a + b$ yang mungkin adalah....

Diketahui $x^2 + 2xy + 4x = -3$ dan $9y^2 + 4xy + 12y = -1$ . Nilai dari $x + 3y$ adalah....

Jika bilangan bulat $p$ merupakan akar $f(x) = 0$ dengan $f(x) = px^2 - 3x - p - 3$ , maka gradien garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik dengan absis $x = p$ adalah....

Jika $(p, q)$ merupakan titik puncak grafik fungsi $f(x) = ax^2 + 2ax + a + 1$ , dengan $f(a) = 19$ , maka $p + 2q + 3a = ....$

Diberikan garis lurus melalui $(0, -2)$ dan $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ . Jarak parabola $y = x^2 - 1$ ke garis tersebut adalah....

Pembahasan

Membuat persamaan garis dari titik yang dilaluinya yaitu $(0, -2)$ dan $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}

\frac{y - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{x - 0}{\frac{3}{2} - 0}

\frac{y + 2}{2} = \frac{2x}{3}

3y + 6 = 4x

-4x + 3y + 6 = 0

Gak bisa langsung mencari jarak titik ke garis. Cari titik yang posisinya terdekat dari garis. Anggap aja titiknya $(a, b)$ sehingga

y = x^2 - 1

b = a^2 - 1

Titik tersebut menjadi $(a, a^2 - 1)$ seperti pada ilustrasi berikut

Visualisasi Parabola dan Garis

Grafik menunjukkan parabola

y = x^2 - 1

dan garis

-4x + 3y + 6 = 0

dengan titik terdekat

\left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{9}\right)

Kita perlu menentukan jarak dari titik $(a, a^2 - 1)$ ke garis $-4x + 3y + 6 = 0$

jarak = \frac{|-4x + 3y + 6|}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}}

f(a) = \frac{|-4a + 3(a^2 - 1) + 6|}{5}

f(a) = \frac{|3a^2 - 4a + 3|}{5}

f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3)

Syarat nilai minimum adalah $f'(x) = 0$

f'(a) = \frac{1}{5}(6a - 4)

f'(a) = 0

\frac{1}{5}(6a - 4) = 0

6a = 4

a = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Jarak garis dan parabola saat $a = \frac{2}{3}$

f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3)

f(a) = \frac{1}{5}\left(3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 3\right)

f(a) = \frac{1}{5}\left(\frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{9}{3}\right)

f(a) = \frac{1}{5}\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{3}

Diketahui sebuah barisan $-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16}, ...$ , suku ke $12$ dari barisan tersebut adalah....

$\frac{1}{2^{11}}$

$\frac{1}{2^{12}}$

$\frac{3}{2^{11}}$

$\frac{3}{2^{12}}$

$\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}}$

Diketahui sebuah barisan $0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64}, ...$ , maka suku ke $12$ barisan tersebut adalah....

$\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}}$

$\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}}$

$\frac{1}{2^{11}}$

$\frac{1}{2^{22}}$

$\frac{3}{2^{12}}$

Diketahui sebuah barisan $0, \frac{5}{6}, \frac{5}{36}, \frac{35}{216}, ...$ , suku ke $12$ dari barisan tersebut adalah....

$\frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}}$

$\frac{1}{2^{11}} - \frac{2}{3^{11}}$

$\frac{3}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}}$

$\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}}$

$\frac{2}{2^{11}} + \frac{3}{3^{11}}$

Suatu barisan geometri mempunyai $3$ suku pertama $a, b, b^2$ . Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 + kx + 6 = 0$ . Maka suku keempat dari barisan dan nilai $k$ masing-masing adalah....

$27 \text{ dan } -8$

$27 \text{ dan } 8$

$24 \text{ dan } -8$

$24 \text{ dan } -4$

$24 \text{ dan } 4$

Misalkan $x_1$ dan $x_2$ bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - (2k + 4)x + (3k + 4) = 0$ . Jika $x_1, k, x_2$ merupakan tiga suku pertama suatu deret geometri, maka rumus suku ke- $n$ deret tersebut adalah....

\lim_{x \to \infty} (5^x + 5^{3x})^{\frac{1}{x}} = ....

Diberikan $f(x) = \sin^2 x$ . Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x)$ , maka

\lim_{h \to \infty} h \left[f'\left(x + \frac{1}{h}\right) - f'(x)\right] = ....

Diketahui $f(x) = \sqrt{1 + x}$ . Nilai $\lim_{h \to 0} \frac{f(3 + 2h^2) - f(3 - 3h^2)}{h^2}$ adalah....

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \sin x - \tan x}{x^2 \sin x} = ....

Jika $\lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax} + \frac{1}{3}}{bx^3 + 27} = -\frac{1}{3^5}$ , nilai $a + b$ untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif adalah....

Jika $\log_{a^2}(3^a - 8)^{-4} \cdot \log_3 \sqrt{a} = a - 2$ , maka $\log_a\left(\frac{1}{8}\right) = ....$

Jika $(\log_2 x)^2 - (\log_2 y)^2 = \log_2 256$ dan $\log_2 x^2 - \log_2 y^2 = \log_2 16$ . Maka nilai dari $\log_2 x^6 y^{-2}$ adalah....

Jika $2 \log_4 x - \log_4(4x + 3) = -1$ , maka $\log_2 x = ....$

$\log_2 3 - 1$

$\log_2 3$

$1 - \log_2 3$

$-1 - \log_2 3$

$\log_2 3 + \log_3 2$

Jika $a$ memenuhi persamaan $\log_2 2x + \log_3 3x = \log_4 4x^2$ , maka nilai dari $\log_a 3 = ....$

Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $\log_3 x - \log_x\left(2x - 4 + \frac{4}{x}\right) = 1$ , maka $\alpha + \beta = ....$

Jika $b > a$ , nilai $x$ yang memenuhi $|x - 2a| + a \leq b$ adalah....

$3a \leq x \leq 2b + a$

$x \geq -b + 3a$

$x \leq b + a$

$b - 3a \leq x \leq -b + a$

$-b + 3a \leq x \leq b + a$

Himpunan penyelesaian $9 - x^2 \geq |x + 3|$ adalah....

$\{x \in R: -3 \leq x \leq 3\}$

$\{x \in R: -3 \leq x \leq 2\}$

$\{x \in R: x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2\}$

$\{x \in R: 0 \leq x \leq 2\}$

$R$

Himpunan penyelesaian $16 - x^2 \leq |x + 4|$ adalah....

$\{x \in R: -4 \leq x \leq 4\}$

$\{x \in R: -4 \leq x \leq 3\}$

$\{x \in R: x \leq -4 \text{ atau } x \geq 4\}$

$\{x \in R: 0 \leq x \leq 3\}$

$\{x \in R: x \leq -4 \text{ atau } x \geq 3\}$

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\log|x + 1| \geq \log 3 + \log|2x - 1|$ adalah....

$\left\{\frac{2}{7} < x < \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\right\}$

$\left\{\frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\right\}$

$\left\{\frac{2}{5} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{3}\right\}$

$\left\{\frac{1}{5} \leq x < \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{7}\right\}$

$\left\{x \leq \frac{4}{5} \vee x \geq \frac{1}{5}, x \neq \frac{3}{5}\right\}$

Banyaknya bilangan riil $x$ yang memenuhi persamaan $|x^2 - 4| = x + |x - 2|$ adalah....

Pembahasan

Definisikan nilai mutlak yang pertama untuk $|x - 2|$ .

$x - 2$ bernilai positif untuk $x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 0$ .

$x - 2$ bernilai negatif untuk $x - 2 < 0 \rightarrow x < 2$ .

Maka definisinya

|x - 2| = \begin{cases} x - 2; \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x - 2); \text{untuk } x < 2 \end{cases}

Untuk $|x^2 - 4|$

$x^2 - 4$ positif untuk $x^2 - 4 \geq 0 \rightarrow x \leq -2 \vee x \geq 0$ .

$x^2 - 4$ negatif untuk $x^2 - 4 < 0 \rightarrow -2 < x < 2$ .

Maka definisinya

|x^2 - 4| = \begin{cases} x^2 - 4; \text{untuk } x \leq -2 \vee x \geq 2 \\ -(x^2 - 4); \text{untuk } -2 < x < 2 \end{cases}

Berdasarkan definisi diatas, bentuk mutlaknya dibatasi oleh $x = -2$ dan $x = 2$ . Artinya ada $3$ kemungkinan daerah/nilai $x$ yaitu

Menyelesaikan soal berdasarkan daerahnya.

Daerah I saat $x < -2$

|x^2 - 4| = x + |x - 2|

x^2 - 4 = x + (-x + 2)

x^2 = 6

x = \pm\sqrt{6}

Karena daerah I merupakan negatif, maka akar yang memenuhi adalah $x_1 = -\sqrt{6}$ .

Daerah II saat $-2 \leq x < 2$

|x^2 - 4| = x + |x - 2|

-x^2 + 4 = x + (-x + 2)

x^2 = 2

x = \pm\sqrt{2}

Karena daerah II mencakup positif dan negatif maka semua akar memenuhi daerah II.

Daerah III saat $x \geq 2$

|x^2 - 4| = x + |x - 2|

x^2 - 4 = x + x - 2

x^2 - 2x - 2 = 0

Tentukan nilai diskriminannya untuk mencari jenis akar-akar.

D = b^2 - 4ac

D = (-2)^2 - 4(1)(-2)

D = 4 + 8

D = 12

Karena $D > 0$ maka akarnya berlainan, satu akar bernilai positif yang memenuhi daerah III.

Sehingga jumlah semua himpunan penyelesaiannya adalah $4$ penyelesaian.

Command Palette

Set 2

Nomor 1

Pembahasan

Nomor 2

Pembahasan

Nomor 3

Pembahasan

Nomor 4

Pembahasan

Nomor 5

Pembahasan

Nomor 6

Pembahasan

Nomor 7

Pembahasan

Nomor 8

Pembahasan

Nomor 9

Pembahasan

Nomor 10

Pembahasan

Nomor 11

Pembahasan

Nomor 12

Pembahasan

Nomor 13

Pembahasan

Nomor 14

Pembahasan

Nomor 15

Pembahasan

Nomor 16

Pembahasan

Nomor 17

Pembahasan

Nomor 18

Pembahasan

Nomor 19

Pembahasan

Nomor 20

Pembahasan

Nomor 21

Pembahasan

Nomor 22

Pembahasan

Nomor 23

Pembahasan

Nomor 24

Pembahasan

Nomor 25

Pembahasan