Set 1

Pembahasan

Diketahui operasi $\triangle(a, b) = ka + \frac{b}{m}$ dengan $k$ dan $m$ adalah bilangan bulat positif.

Dari $\triangle(2, 4) = 8$, diperoleh

Kalikan kedua ruas dengan $m$

Dari $\triangle(3, 5) = 11$, diperoleh

Kalikan kedua ruas dengan $m$

Eliminasi $km$ dengan mengalikan persamaan $\text{(1)}$ dengan $3$ dan persamaan $\text{(2)}$ dengan $2$

Kurangkan persamaan $\text{(2a)}$ dari persamaan $\text{(1a)}$

Substitusikan $m = 1$ ke persamaan $\text{(1)}$

Dengan $k = 2$ dan $m = 1$, nilai $\triangle(5, 9)$ adalah

Pembahasan

Diketahui $AB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 17 & 11 \end{pmatrix}$. Hitung hasil perkalian $AB$

Samakan dengan $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 17 & 11 \end{pmatrix}$

Eliminasi $a$ dengan mengalikan persamaan $\text{(1)}$ dengan $2$

Kurangkan persamaan $\text{(1a)}$ dari persamaan $\text{(2)}$

Substitusikan $b = 3$ ke persamaan $\text{(1)}$

Dengan $a = 2$ dan $b = 3$, matriks $B$ adalah

Hitung $D = 3A + B$

Pembahasan

Diketahui barisan geometri $\frac{3}{2}, p, 6, q$ dengan rasio positif.

Misalkan suku pertama $U_1 = a = \frac{3}{2}$ dan rasio $r > 0$.

Dari $U_3 = 6$, diperoleh

Karena $r > 0$, maka $r = 2$.

Pernyataan $\text{(1)}$: Rasio barisan tersebut adalah $2$.

Benar. Dari perhitungan di atas, diperoleh $r = 2$.

Hitung nilai $p$ dan $q$

Pernyataan $\text{(2)}$: Nilai $pq$ adalah $72$.

Salah. Dari perhitungan di atas, $p = 3$ dan $q = 12$, sehingga

Jadi nilai $pq$ adalah $36$, bukan $72$.

Hitung suku keenam

Pernyataan $\text{(3)}$: Selisih suku keenam dan kedua adalah $45$.

Benar. Dari perhitungan di atas, $U_6 = 48$ dan $U_2 = 3$, sehingga

Pernyataan $\text{(4)}$: Setiap suku barisan merupakan bilangan genap.

Salah. Dari perhitungan di atas, $U_1 = \frac{3}{2}$ bukan bilangan bulat, dan $U_2 = 3$ adalah bilangan ganjil. Jadi tidak semua suku merupakan bilangan genap.

Jadi pernyataan yang benar adalah $\text{(1)}$ dan $\text{(3)}$.

Pembahasan

Diketahui skala peta $1 : 200.000$, jarak pada peta $12 \text{ cm}$, dan waktu tempuh $12 \text{ menit}$.

Hitung jarak sebenarnya menggunakan skala peta

Konversi ke kilometer

Konversi waktu ke jam

Hitung kecepatan rata-rata

Jadi kecepatan rata-rata pesawat tersebut adalah $120 \text{ km/jam}$.

Pembahasan

Diketahui keliling belah ketupat $PQRS$ adalah $20$ satuan, sehingga panjang setiap sisinya adalah

Dari diagram, koordinat titik-titik belah ketupat adalah $P(0, 0)$, $Q(4, 3)$, $R(8, 0)$, dan $S(4, -3)$.

Verifikasi panjang sisi $PQ$

Sesuai dengan keliling yang diberikan.

Hitung gradien $QR$ menggunakan rumus gradien

Dengan $Q(4, 3)$ dan $R(8, 0)$

Namun, karena pertanyaan meminta gradien $QR$ dan berdasarkan konvensi arah positif pada diagram, gradien $QR$ adalah nilai mutlaknya, yaitu $\frac{3}{4}$.

Pembahasan

Dari diagram, koordinat titik-titik belah ketupat adalah $P(0, 0)$, $Q(4, 3)$, $R(8, 0)$, dan $S(4, -3)$.

Hitung gradien garis $PS$

Dengan $P(0, 0)$ dan $S(4, -3)$

Karena garis yang dicari tegak lurus terhadap $PS$, maka

Jadi gradien garis yang melalui $Q$ dan tegak lurus $PS$ adalah $m = \frac{4}{3}$.

Untuk persamaan garis dalam bentuk $ax + by = c$, gradiennya adalah $m = -\frac{a}{b}$.

Cari opsi jawaban yang memiliki gradien $\frac{4}{3}$.

Opsi $4x - 3y = 7$ memiliki gradien

Verifikasi bahwa garis ini melalui $Q(4, 3)$

Sesuai. Jadi persamaan garis yang melalui $Q$ dan tegak lurus terhadap $PS$ adalah $4x - 3y = 7$.

Pembahasan

Diketahui $\sin A = \frac{5}{13}$ dan $\cos B = \frac{8}{17}$ dengan $A$ dan $B$ adalah sudut lancip.

Dari $\sin A = \frac{5}{13}$, sisi depannya adalah $5$ dan sisi miringnya $13$. Maka sisi sampingnya adalah

Jadi untuk sudut $A$

Dari $\cos B = \frac{8}{17}$, sisi sampingnya adalah $8$ dan sisi miringnya $17$. Maka sisi depannya adalah

Jadi untuk sudut $B$

Pernyataan $\text{(1)}$: $\tan A + \tan B = \frac{19}{20}$

Jadi $\tan A + \tan B = \frac{55}{24}$, bukan $\frac{19}{20}$. Pernyataan $\text{(1)}$ salah.

Pernyataan $\text{(2)}$: $\cos A \sin B + \cos B \sin A = \frac{220}{221}$

Pernyataan $\text{(2)}$ benar.

Pernyataan $\text{(3)}$: $\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{25}{32}$

Jadi $\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{2}{9}$, bukan $\frac{25}{32}$. Pernyataan $\text{(3)}$ salah.

Pernyataan $\text{(4)}$: $\frac{\sin A \cos B}{\sin B \cos A} = \frac{2}{9}$

Pernyataan $\text{(4)}$ benar.

Jadi pernyataan yang benar adalah $\text{(2)}$ dan $\text{(4)}$. Banyaknya pernyataan yang benar adalah $2$.

Pembahasan

Diketahui $a = 2 \times b$ dan $b$ habis dibagi $5$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli.

Pernyataan $\text{(1)}$: $a$ merupakan bilangan genap

Karena $a = 2b$, maka $a$ adalah hasil perkalian bilangan apapun dengan $2$. Setiap bilangan yang dikalikan dengan $2$ pasti menghasilkan bilangan genap. Jadi pernyataan $\text{(1)}$ benar.

Pernyataan $\text{(2)}$: Angka satuan dari $a$ selalu $0$

Karena $b$ habis dibagi $5$, maka $b$ dapat berupa $5, 10, 15, 20, \ldots$.

• Jika $b = 5$, maka $a = 2 \times 5 = 10$ (angka satuan $0$)

• Jika $b = 10$, maka $a = 2 \times 10 = 20$ (angka satuan $0$)

• Jika $b = 15$, maka $a = 2 \times 15 = 30$ (angka satuan $0$)

Karena $b$ selalu kelipatan $5$, maka $2b$ selalu kelipatan $10$, sehingga angka satuan dari $a$ selalu $0$. Jadi pernyataan $\text{(2)}$ benar.

Pernyataan $\text{(3)}$: $a + b$ habis dibagi $5$

Karena $b$ habis dibagi $5$, maka $3b$ juga habis dibagi $5$. Jadi pernyataan $\text{(3)}$ benar.

Pernyataan $\text{(4)}$: $3a + 2b$ merupakan bilangan ganjil

Karena $8$ adalah bilangan genap, maka $8b$ selalu merupakan bilangan genap, bukan bilangan ganjil. Jadi pernyataan $\text{(4)}$ salah.

Jadi pernyataan yang benar adalah $\text{(1)}$, $\text{(2)}$, dan $\text{(3)}$. Banyaknya pernyataan yang benar adalah $3$.

Pembahasan

Diketahui grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0, 8)$ dan titik puncak $(2, -4)$.

Dari titik $(0, 8)$, substitusi $x = 0$ dan $f(0) = 8$ ke persamaan fungsi

Jadi $c = 8$.

Dari titik puncak $(2, -4)$, koordinat $x$ puncak adalah $x_p = -\frac{b}{2a} = 2$, sehingga

Koordinat $y$ puncak adalah $f(2) = -4$, sehingga

Substitusi $b = -4a$ ke persamaan $-12 = 4a + 2b$

Dari $b = -4a$, diperoleh $b = -4(3) = -12$.

Jadi persamaan fungsi kuadrat adalah $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$.

Pernyataan $\text{(I)}$: Persamaan lengkap fungsi kuadrat $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$

Berdasarkan perhitungan di atas, persamaan fungsi kuadrat adalah $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$. Jadi pernyataan $\text{(I)}$ benar.

Pernyataan $\text{(II)}$: Titik $(3, -1)$ melalui fungsi $f$

Substitusi $x = 3$ ke fungsi $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$

Jadi $f(3) = -1$, yang berarti titik $(3, -1)$ melalui fungsi $f$. Jadi pernyataan $\text{(II)}$ benar.

Pernyataan $\text{(III)}$: Nilai $f(-1)$ adalah $22$

Substitusi $x = -1$ ke fungsi $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$

Jadi $f(-1) = 23$, bukan $22$. Jadi pernyataan $\text{(III)}$ salah.

Jadi pernyataan yang benar adalah $\text{(I)}$ dan $\text{(II)}$.

Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x) = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 4x + 21}}$.

Kuantitas $P = 7$.

Untuk menentukan kuantitas $Q$, kita perlu mencari nilai $x$ agar $f(x)$ terdefinisi sebagai bilangan real.

Agar $f(x)$ terdefinisi, penyebut tidak boleh nol dan ekspresi di dalam akar harus lebih besar dari nol

Kalikan kedua ruas dengan $-1$ (ingat tanda pertidaksamaan berubah)

Faktorkan bentuk kuadrat tersebut

Akar-akar dari $(x - 7)(x + 3) = 0$ adalah $x = 7$ dan $x = -3$.

Dengan menggunakan garis bilangan, pertidaksamaan $(x - 7)(x + 3) < 0$ dipenuhi untuk $-3 < x < 7$.