Set 3

Titik $(a, b)$ pada kurva $y = x^2 + 2$ dan mempunyai jarak terdekat ke garis $y = x$ . Nilai $a + b$ yang memenuhi adalah....

Jika persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ tidak mempunyai akar riil, maka grafik fungsi $y = ax^2 + bx + c$ menyinggung garis $y = -x$ bilamana....

$b < -\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} < b < 0$

$b > -\frac{1}{2}$

$0 < b < \frac{1}{2}$

$b > 0$

Persamaan garis singgung parabola $y = \sqrt{x} + 1$ melalui titik $(-8, 0)$ adalah....

$4y - x - 8 = 0$

$4y + x - 8 = 0$

$4y + 3x - 2 = 0$

$4y - x + 2 = 0$

$4y - 3x - 2 = 0$

Diketahui fungsi $mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3$ . Agar fungsi tersebut senantiasa berada dibawah sumbu $x$ , maka nilai $m$ yang mungkin adalah....

Jika suatu fungsi $y = \sqrt{x^2 - 7}$ , maka

$y = \frac{4}{3}x - \frac{7}{3}$ merupakan persamaan garis singgung di $x = 4$ .
Kurva berbentuk lingkaran berpusat di $(0, 0)$ .
Garis $y = -\frac{3}{4}x + 6$ memotong tegak lurus garis singgung di $x = 4$ .
$y = \frac{4}{3}x - \frac{25}{3}$ merupakan garis singgung kurva di $(4, -3)$ .

Diketahui $a, \frac{1}{a}, \frac{1}{a^2 + 2a}$ , $a \neq 0$ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $r \neq 1$ . Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah....

Misalkan $u_n$ menyatakan suku ke- $n$ dari barisan aritmatika. Diketahui $u_1 \times u_2 = 10$ dan $u_1 \times u_3 = 16$ . Jika suku-suku dari barisan aritmatika tersebut merupakan bilangan positif, maka $u_{10} = ....$

Akar-akar persamaan $x^3 - 7x^2 + px + q = 0$ membentuk deret geometri dengan rasio $2$ . Nilai $p + q$ adalah....

Jumlah deret tak hingga memiliki nilai $\frac{9}{4}$ . Dengan suku pertama $u_1 = a$ dan rasio $r = -\frac{1}{a}$ . Jika $a > 0$ , tentukan nilai dari $3u_6 - u_5$ .

Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^3 - 12x^2 + (p + 4)x - (p + 8) = 0$ membentuk deret aritmatika dengan beda $2$ , maka $p - 36 = ....$

Nilai dari $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sec 2x + 2}{\tan 2x}$ adalah....

Jika $p > 0$ dan $\lim_{x \to p} \frac{x^3 + px^2 + qx}{x - p} = 12$ , maka nilai $p - q$ adalah....

Nilai dari $\lim_{x \to -y} \frac{\tan x + \tan y}{\frac{x^2 - y^2}{-2y^2} \cdot (1 - \tan x \tan y)}$ adalah....

Jika $b, c \neq 0$ dan $\lim_{x \to a} \frac{(x - a) \tan(b(a - x))}{\cos(c(x - a)) - 1} = d$ , maka $b = ....$

Nilai dari $\lim_{x \to 3} \frac{(x + 6) \tan(2x - 6)}{x^2 - x - 6}$ adalah....

Pertidaksamaan $\log_2(x^2 - x) \leq 1$ mempunyai penyelesaian....

$x < 0$ atau $x > 1$

$-1 < x < 2; x \neq 1; x \neq 0$

$-1 \leq x < 0$ atau $1 < x \leq 2$

$-1 \leq x \leq 0$ atau $1 \leq x \leq 2$

$-1 < x < 0$ atau $1 \leq x < 2$

Jika $x > y \geq 1$ dan $\log(x^2 + y^2 + 2xy) = 2 \log(x^2 - y^2)$ , maka $\log_x(1 + y) = ....$

Jika $\log_3 x + \log_4 y^2 = 5$ , maka nilai maksimum dari $\log_3 x \cdot \log_2 y$ adalah....

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) + \log_{\frac{1}{2}}(2 - x) \geq 2 \log_{\frac{1}{2}} x$ adalah....

$\frac{2}{3} \leq x \leq 1$

$x \leq \frac{2}{3}$ atau $x \geq 1$

$\frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3}$ atau $1 \leq x < 2$

$\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3}$ atau $1 \leq x \leq 2$

$x \leq \frac{1}{2}$ atau $x > 2$

Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi persamaan $(2 \log x - 1) \cdot \frac{1}{\log_x 10} = \log 10$ , maka $x_1x_2 = ....$

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x - 5|^2 - 3|x - 5| + 2 < 0$ adalah....

$(3,4) \cup [6,7)$

$(3,4) \cup (6,7)$

$(1,2) \cup (3,4]$

$(-\infty, 1) \cup [6,\infty)$

$(-\infty, 2) \cup (3,7)$

Semua nilai $x$ yang memenuhi $|x| + |x - 2| > 3$ adalah....

$x < -1$ atau $x > \frac{5}{2}$

$x < -\frac{1}{2}$ atau $x > 3$

$x < -\frac{1}{2}$ atau $x > \frac{5}{2}$

$x < -1$ atau $x > 3$

$x < -\frac{3}{2}$ atau $x > \frac{5}{2}$

Pembahasan

Definisi dari mutlak $|x - 2|$ adalah

|x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x - 2), & \text{untuk } x < 2 \end{cases}

Untuk memudahkan dalam menemukan penyelesaiannya, kita membagi menjadi 3 daerah berdasarkan definisi dari nilai mutlak di atas

Pembagian Daerah

Tiga daerah berdasarkan definisi nilai mutlak:

x < 0

0 \leq x < 2

, dan

x \geq 2

\text{Daerah I}

\text{Daerah II}

\text{Daerah III}

0

2

\text{Daerah I:}

(x < 0)

|x| = -x

|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2

|x| + |x - 2| > 3

-x + (-x + 2) > 3

-2x + 2 > 3

-2x > 1

x < -\frac{1}{2}

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\{x < 0\} \cap \{x < -\frac{1}{2}\} = \{x < -\frac{1}{2}\}$ .

\text{Daerah II:}

(0 \leq x < 2)

|x| = x

|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2

|x| + |x - 2| > 3

x + (-x + 2) > 3

2 > 3

Artinya tidak ada nilai $x$ yang memenuhi daerah II.

\text{Daerah III:}

(x \geq 2)

|x| = x

|x - 2| = x - 2

|x| + |x - 2| > 3

x + (x - 2) > 3

2x > 5

x > \frac{5}{2}

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\{x \geq 2\} \cap \{x > \frac{5}{2}\} = \{x > \frac{5}{2}\}$ .

Maka solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga daerah

\{x < -\frac{1}{2}\} \cup \{x > \frac{5}{2}\}

Jadi solusinya adalah $\{x < -\frac{1}{2} \cup x > \frac{5}{2}\}$ .

Semua nilai $x$ yang memenuhi $|x + 1| > x + 3$ dan $|x + 2| < 3$ adalah....

Semua bilangan riil $x$ yang memenuhi $|2x + 1| < 5 - |2x|$ adalah....

$-\frac{3}{2} < x < 1$

$-\frac{5}{2} < x < 3$

$-\frac{7}{2} < x < 5$

$x < -\frac{3}{2} \cup x > 2$

$x < -\frac{5}{2} \cup x > 3$

Pembahasan

Definisikan masing-masing nilai mutlaknya

|2x + 1| = \begin{cases} 2x + 1, & \text{untuk } 2x + 1 \geq 0 \text{ atau } x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x + 1), & \text{untuk } 2x + 1 < 0 \text{ atau } x < -\frac{1}{2} \end{cases}

|2x| = \begin{cases} 2x, & \text{untuk } 2x \geq 0 \text{ atau } x \geq 0 \\ -2x, & \text{untuk } 2x < 0 \text{ atau } x < 0 \end{cases}

Terlihat bahwa pembatas nilai $x$ dari kedua mutlak adalah $x = -\frac{1}{2}$ dan $x = 0$ . Artinya batas akan membentuk tiga daerah yaitu $\text{Daerah I } (x < -\frac{1}{2})$ , $\text{Daerah II } (-\frac{1}{2} \leq x < 0)$ , dan $\text{Daerah III } (x \geq 0)$ . Berdasarkan daerah dan definisinya, soal dapat diselesaikan.

\text{Daerah I:}

(x < -\frac{1}{2})

|2x + 1| = -(2x + 1)

|2x| = -2x

|2x + 1| < 5 - |2x|

-(2x + 1) < 5 - (-2x)

-2x - 1 < 5 + 2x

-4x < 6

x > -\frac{3}{2}

Solusi untuk daerah I adalah $\{x < -\frac{1}{2}\} \cap \{x > -\frac{3}{2}\} = \{-\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2}\}$ .

\text{Daerah II:}

(-\frac{1}{2} \leq x < 0)

|2x + 1| = 2x + 1

|2x| = -2x

|2x + 1| < 5 - |2x|

2x + 1 < 5 - (-2x)

2x + 1 < 5 + 2x

1 < 5

Semua $x$ di daerah II bernilai benar, maka solusinya $\{-\frac{1}{2} \leq x < 0\}$ .

\text{Daerah III:}

(x \geq 0)

|2x + 1| = 2x + 1

|2x| = 2x

|2x + 1| < 5 - |2x|

2x + 1 < 5 - 2x

4x < 4

x < 1

Solusinya adalah $\{x \geq 0\} \cap \{x < 1\} = \{0 \leq x < 1\}$ .

Maka solusi keseluruhannya adalah gabungan

\left\{-\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2}\right\} \cup \left\{-\frac{1}{2} \leq x < 0\right\} \cup \{0 \leq x < 1\} = \left\{-\frac{3}{2} < x < 1\right\}

Himpunan penyelesaian dari $\left|\frac{x}{3} - \frac{1}{4}\right| = \frac{1}{12}$ adalah....

$\{-\frac{1}{2}, 2\}$

$\{2, 3\}$

$\{1, 2\}$

$\{-\frac{3}{2}, \frac{1}{3}\}$

$\{\frac{1}{2}, 1\}$

Diketahui sistem persamaan

x + y^2 = y^3

y + x^2 = x^3

Banyaknya pasangan bilangan riil $(x, y)$ yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah....

Pembahasan

Kalikan persamaan pertama dengan $x^2$ dan persamaan kedua dengan $y^2$

(x + y^2 = y^3) \times x^2 \Rightarrow x^3 + x^2y^2 = x^2y^3

(y + x^2 = x^3) \times y^2 \Rightarrow y^3 + x^2y^2 = x^3y^2

Kurangi persamaan pertama dengan persamaan kedua

\begin{aligned} (x^3 + x^2y^2) - (y^3 + x^2y^2) &= x^2y^3 - x^3y^2 \\ x^3 - y^3 &= x^2y^3 - x^3y^2 \end{aligned}

Faktorkan kedua ruas

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

x^2y^3 - x^3y^2 = x^2y^2(y - x) = -x^2y^2(x - y)

Substitusikan ke persamaan

(x - y)(x^2 + xy + y^2) = -x^2y^2(x - y)

(x - y)(x^2 + xy + y^2) + x^2y^2(x - y) = 0

(x - y)(x^2 + xy + y^2 + x^2y^2) = 0

Maka ada dua kasus

x - y = 0 \quad \text{atau} \quad x^2 + xy + y^2 + x^2y^2 = 0

Untuk kasus pertama, $x = y$ . Substitusikan $y = x$ ke persamaan pertama

x + y^2 = y^3

x + x^2 = x^3

x^3 - x^2 - x = 0

x(x^2 - x - 1) = 0

Maka $x = 0$ atau $x^2 - x - 1 = 0$ .

Untuk $x^2 - x - 1 = 0$ , nilai diskriminannya adalah

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5

Nilai diskriminan $D = 5 > 0$ , yang berarti persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 akar real yang berbeda.

Jadi dari kasus pertama diperoleh:

$x = 0$ , maka $y = 0$ , sehingga pasangan $(0, 0)$
$x^2 - x - 1 = 0$ mempunyai 2 akar real berbeda, sehingga 2 pasangan $(x, y)$ dengan $y = x$

Untuk kasus kedua $x^2 + xy + y^2 + x^2y^2 = 0$ , karena semua suku non-negatif dan $x^2y^2 \geq 0$ , maka persamaan ini hanya terpenuhi jika $x = 0$ dan $y = 0$ , yang sudah termasuk dalam kasus pertama.

Jadi sistem persamaan tersebut memiliki 3 pasangan yang berbeda.

Misalkan $\alpha$ dan $\beta$ merupakan akar-akar dari persamaan $x^2 - bx + 6 = 0$ . Jika $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$ adalah akar-akar dari persamaan $x^2 - 4x + c = 0$ , persamaan yang mempunyai akar-akar $b$ dan $c$ adalah....

$x^2 - 5x + 5 = 0$

$(x - 5)^2 = 0$

$x^2 - 5^2 = 0$

$(x + 5)^2 = 0$

$x^2 + 5x + 5 = 0$

Berapakah nilai $a$ sehingga solusi $(x, y)$ dari sistem persamaan

-2x + y = a^2 - 1

3x + 2y = 2a^2 + 7a + 5

memenuhi $x\sqrt{y} + 3 > 0$ ?

$a > -1 + \sqrt{3}$

$a < -1 - \sqrt{3}$

$a < 1 - \sqrt{3}$

$a > 1 + \sqrt{3}$

$a < -\sqrt{3}$

Pembahasan

Sistem persamaan linear ini dapat ditulis dalam bentuk matriks $AX = B$ , dimana

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a^2 - 1 \\ 2a^2 + 7a + 5 \end{pmatrix}

Aturan Cramer dapat digunakan karena determinan matriks koefisien $\det(A) = -4 - 3 = -7 \neq 0$ (determinan tidak nol). Aturan Cramer menyatakan bahwa untuk sistem $AX = B$ dengan $\det(A) \neq 0$ , solusinya adalah

x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}

dimana $A_x$ adalah matriks $A$ dengan kolom pertama diganti $B$ , dan $A_y$ adalah matriks $A$ dengan kolom kedua diganti $B$ .

Dengan menggunakan aturan Cramer, diperoleh

x = \frac{\begin{vmatrix} a^2 - 1 & 1 \\ 2a^2 + 7a + 5 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{2(a^2 - 1) - (2a^2 + 7a + 5)}{-4 - 3} = \frac{-7a - 7}{-7} = a + 1

y = \frac{\begin{vmatrix} -2 & a^2 - 1 \\ 3 & 2a^2 + 7a + 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{-2(2a^2 + 7a + 5) - 3(a^2 - 1)}{-7} = \frac{-7a^2 - 14a - 7}{-7} = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2

Selanjutnya nilai $x$ dan $y$ disubstitusi ke $x\sqrt{y} + 3 > 0$ sehingga diperoleh

x\sqrt{y} + 3 > 0

(a + 1)\sqrt{(a + 1)^2} + 3 > 0

Untuk menyederhanakan $\sqrt{(a + 1)^2}$ , perlu diperhatikan bahwa $\sqrt{(a + 1)^2} = |a + 1|$ . Agar $\sqrt{y}$ terdefinisi, haruslah $y \geq 0$ , yaitu $(a + 1)^2 \geq 0$ yang selalu benar.

Pilih $a < -1$ sehingga bentuk $\sqrt{(a + 1)^2} = -(a + 1)$ , sehingga diperoleh

(a + 1)[-(a + 1)] + 3 > 0

-(a + 1)^2 + 3 > 0

(a + 1)^2 < 3

a^2 + 2a + 1 < 3

a^2 + 2a - 2 < 0

Mencari nilai $a$ bisa menggunakan rumus ABC. Persamaan kuadrat $a^2 + 2a - 2 = 0$ mempunyai akar-akar

a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}

a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}

a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}

a_{1,2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2}

a_{1,2} = -1 \pm \sqrt{3}

Untuk pertidaksamaan $a^2 + 2a - 2 < 0$ , karena koefisien $a^2$ positif, maka pertidaksamaan terpenuhi untuk nilai $a$ di antara kedua akarnya, yaitu $-1 - \sqrt{3} < a < -1 + \sqrt{3}$ .

Karena kita memilih $a < -1$ , maka irisannya adalah $-1 - \sqrt{3} < a < -1$ .

Namun, karena $a = -1 - \sqrt{3}$ adalah akar dari persamaan $a^2 + 2a - 2 = 0$ , dan untuk $a < -1$ kita memerlukan $(a + 1)^2 < 3$ , maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $a < -1 - \sqrt{3}$ .

Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a < -1 - \sqrt{3}$ .

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 - 4(k + 1)x + k^2 - k + 7 = 0$ dengan salah satu akarnya tiga kali dari akar yang lain dan semua akar lebih dari $2$ . Himpunan semua nilai $k$ yang memenuhi adalah....

Tidak ada nilai yang memenuhi

$\left\{k \in \mathbb{R} \mid k < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \text{ atau } k > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\right\}$

$\{k \in \mathbb{R} \mid k > -1\}$

$\{-4, \frac{1}{2}\}$

$\left\{\frac{1}{2}\right\}$

Kedua akar persamaan kuadrat $(m + 2)x^2 - (2m - 1)x + m + 1 = 0$ bertanda negatif. Batas nilai $m$ yang memenuhi adalah....

$m < -2 \text{ atau } m > -1$

$-2 < m < -1$

$-2 < m < -\frac{1}{2}$

$-2 < m \leq -\frac{7}{16}$

$-1 < m \leq -\frac{7}{16}$

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat $(m + 2)x^2 - (2m - 1)x + m + 1 = 0$ dengan syarat harus $x_1 < 0$ dan $x_2 < 0$ .

Agar persamaan tersebut merupakan persamaan kuadrat, maka koefisien $x^2$ tidak boleh nol, yaitu $m + 2 \neq 0$ atau $m \neq -2$ .

Syarat diskriminan adalah $D \geq 0$ , maka diperoleh

D = b^2 - 4ac \geq 0

[-(2m - 1)]^2 - 4(m + 2)(m + 1) \geq 0

(2m - 1)^2 - 4(m + 2)(m + 1) \geq 0

4m^2 - 4m + 1 - 4(m^2 + 3m + 2) \geq 0

4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 - 12m - 8 \geq 0

-16m - 7 \geq 0

-16m \geq 7

m \leq -\frac{7}{16}

Syarat penjumlahan akar-akar: $x_1 + x_2 < 0$

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-(2m - 1)}{m + 2} = \frac{2m - 1}{m + 2}

\frac{2m - 1}{m + 2} < 0

Pertidaksamaan $\frac{2m - 1}{m + 2} < 0$ terpenuhi jika pembilang dan penyebut berbeda tanda. Maka

(2m - 1)(m + 2) < 0

Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk $-2 < m < \frac{1}{2}$ .

Syarat perkalian akar-akar: $x_1x_2 > 0$

x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m + 1}{m + 2}

\frac{m + 1}{m + 2} > 0

Pertidaksamaan $\frac{m + 1}{m + 2} > 0$ terpenuhi jika pembilang dan penyebut sama tanda. Maka

(m + 1)(m + 2) > 0

Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk $m < -2$ atau $m > -1$ .

Sekarang kita gabungkan semua syarat:

$m \neq -2$ (agar persamaan kuadrat)
$m \leq -\frac{7}{16}$ (dari diskriminan)
$-2 < m < \frac{1}{2}$ (dari penjumlahan akar)
$m < -2$ atau $m > -1$ (dari perkalian akar)

Irisan dari semua syarat tersebut adalah $-1 < m \leq -\frac{7}{16}$ .

Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $-1 < m \leq -\frac{7}{16}$ .

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^2 + x - 2$ bersisa $ax + b$ dan dibagi $x^2 - 4x + 3$ bersisa $2bx + a - 1$ . Jika $f(-2) = 7$ , maka $a^2 + b^2$ = ....

Jika $h(x)$ adalah sisa hasil pembagian $f(x) = 5x^4 - 2x^2 + 7x + 9$ dengan $x^2 - 5$ . Nilai $h(1)$ adalah....

Fungsi $f(x)$ dibagi $(x - 1)$ sisanya $3$ , sedangkan jika dibagi $(x - 2)$ sisanya $4$ . Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^2 - 3x + 2$ , maka sisanya adalah....

Suku banyak berderajat tiga $P(x) = x^3 + 2x^2 + mx + n$ dibagi dengan $x^2 - 4x + 3$ mempunyai sisa $3x + 2$ . Maka nilai $n$ = ....

Diketahui suku banyak $g(x) = x^3 + x^2 - x + b$ habis dibagi $(x - 1)$ . Jika $g(x)$ dibagi $(x^2 - 1)$ , maka sisanya adalah....

Nilai maksimum fungsi $y = 4 \sin x \sin(x - 60°)$ dicapai saat nilai $x$ = ....

$x = 30^\circ + k \cdot 180^\circ$ , $k$ bilangan bulat

$x = 60^\circ + k \cdot 180^\circ$ , $k$ bilangan bulat

$x = 90^\circ + k \cdot 180^\circ$ , $k$ bilangan bulat

$x = 120^\circ + k \cdot 180^\circ$ , $k$ bilangan bulat

$x = 150^\circ + k \cdot 180^\circ$ , $k$ bilangan bulat

Pembahasan

Tentukan turunan fungsinya

y = 4 \sin x \sin(x - 60°)

y' = 4[\cos x \cdot \sin(x - 60°) + \sin x \cdot \cos(x - 60°)]

Gunakan identitas trigonometri $\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$ dan $\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B)$

y' = 4[\sin(x - 60°) \cos x + \cos(x - 60°) \sin x]

y' = 4 \sin[(x - 60°) + x]

y' = 4 \sin(2x - 60°)

Atau dengan menggunakan identitas $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$

y = 4 \sin x \sin(x - 60°)

y = 4 \cdot \frac{1}{2}[\cos(x - (x - 60°)) - \cos(x + (x - 60°))]

y = 2[\cos(60°) - \cos(2x - 60°)]

y = 2 \cos 60° - 2 \cos(2x - 60°)

y' = -2 \cdot (-\sin(2x - 60°)) \cdot 2

y' = 4 \sin(2x - 60°)

Nilai maksimum terjadi saat $y' = 0$ atau saat $\sin(2x - 60°)$ mencapai nilai maksimumnya, yaitu $\sin(2x - 60°) = 1$ .

Namun, karena $y = 2 \cos 60° - 2 \cos(2x - 60°) = 1 - 2 \cos(2x - 60°)$ , maka nilai maksimum terjadi saat $\cos(2x - 60°)$ minimum, yaitu $\cos(2x - 60°) = -1$ .

\cos(2x - 60°) = -1

2x - 60° = 180° + k \cdot 360°

2x = 240° + k \cdot 360°

x = 120° + k \cdot 180°

Dengan $k$ bilangan bulat.

Nilai-nilai $x$ , untuk $0° \leq x \leq 360°$ yang memenuhi $\sin x + \sin 2x > \sin 3x$ adalah....

$0° < x < 120°, 180° < x < 240°$

$0° < x < 150°, 180° < x < 270°$

$120° < x < 180°, 240° < x < 360°$

$150° < x < 180°, 270° < x < 360°$

$0° < x < 135°, 180° < x < 270°$

Pembahasan

Diketahui bentuk pertidaksamaannya

\sin x + \sin 2x > \sin 3x

Kedua ruas dikurang $\sin x$

\sin 2x > \sin 3x - \sin x

Gunakan identitas trigonometri $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ dan $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$

2 \sin x \cos x > 2 \cos \frac{3x + x}{2} \sin \frac{3x - x}{2}

2 \sin x \cos x > 2 \cos 2x \sin x

Kedua ruas dibagi $2$ dan gunakan identitas $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$

\sin x \cos x > \cos 2x \sin x

\sin x \cos x > (2 \cos^2 x - 1) \sin x

\sin x \cos x - (2 \cos^2 x - 1) \sin x > 0

\sin x (\cos x - 2 \cos^2 x + 1) > 0

\sin x (2 \cos^2 x - \cos x - 1) < 0

Faktorkan $2 \cos^2 x - \cos x - 1 = (2 \cos x + 1)(\cos x - 1)$

\sin x (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) < 0

Dengan begitu $x$ pembuat nolnya

\sin x = 0 \Rightarrow x = 0°, 180°, 360°

2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 120°, 240°

\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 0°, 360°

Titik-titik kritisnya adalah $x = 0°$ , $x = 120°$ , $x = 180°$ , $x = 240°$ , dan $x = 360°$ .

Garis bilangannya seperti berikut

Garis Bilangan

Titik-titik kritis:

0°

120°

180°

240°

, dan

360°

\text{Interval 1}

\text{Interval 2}

\text{Interval 3}

\text{Interval 4}

0°

120°

120°

180°

180°

240°

240°

360°

Dengan menguji tanda pada setiap interval, diperoleh bahwa pertidaksamaan $\sin x (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) < 0$ terpenuhi untuk $0° < x < 120°$ dan $180° < x < 240°$ .

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $0° < x < 120°, 180° < x < 240°$ .

Jika $\sin x - \sin y = -\frac{1}{3}$ dan $\cos x - \cos y = \frac{1}{2}$ , maka nilai $\sin(x + y)$ = ....

Pembahasan

Ingat konsep identitas

\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

Maka akan kita dapatkan dua persamaan dari yang diketahui yaitu

2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} = -\frac{1}{3} \quad \ldots \text{(1)}

-2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} = \frac{1}{2} \quad \ldots \text{(2)}

Persamaan $\text{(2)}$ dibagi dengan persamaan $\text{(1)}$

\frac{\text{(2)}}{\text{(1)}}: \quad \frac{-2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}}{2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{3}}

-\tan \frac{x + y}{2} = -\frac{3}{2}

\tan \frac{x + y}{2} = \frac{3}{2}

Sisi depannya adalah $3$ , dan sisi sampingnya $2$ . Maka dengan phytagoras didapat sisi miringnya

\text{Mi} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

Dengan begitu

\sin \frac{x + y}{2} = \frac{\text{de}}{\text{mi}} = \frac{3}{\sqrt{13}}

\cos \frac{x + y}{2} = \frac{\text{sa}}{\text{mi}} = \frac{2}{\sqrt{13}}

Maka nilai $\sin(x + y)$

\sin(x + y) = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x + y}{2}

\sin(x + y) = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}

\sin(x + y) = \frac{12}{13}

Jika $3 \cos \theta - \sin \theta$ dinyatakan dalam bentuk $r \sin(\theta + \alpha)$ dengan $r > 0$ dan $0° < \alpha < 360°$ , maka....

$r = \sqrt{8}$ , sudut $\alpha$ ada di kuadran $\text{II}$ atau $\text{IV}$

$r = \sqrt{8}$ , sudut $\alpha$ ada di kuadran $\text{II}$

$r = \sqrt{10}$ , sudut $\alpha$ ada di kuadran $\text{II}$ atau $\text{IV}$

$r = \sqrt{10}$ , sudut $\alpha$ ada di kuadran $\text{II}$

$r = 3$ , sudut $\alpha$ ada di kuadran $\text{IV}$

Jika $\sin 2x + \cos 2x = -16 \cos x + 8 \sin x + \cos^2 x$ dengan $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , maka $\sin 2x$ = ....

Pembahasan

Gunakan identitas trigonometri berikut

\sin 2x = 2 \sin x \cos x

\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1

Maka

\sin 2x + \cos 2x = -16 \cos x + 8 \sin x + \cos^2 x

2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x - 1 = -16 \cos x + 8 \sin x + \cos^2 x

2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x - 1 + 16 \cos x - 8 \sin x - \cos^2 x = 0

2 \sin x \cos x + \cos^2 x + 16 \cos x - 8 \sin x - 1 = 0

2 \cos x (\sin x + 8) - \sin^2 x - 8 \sin x = 0

2 \cos x (\sin x + 8) - \sin x (\sin x + 8) = 0

(2 \cos x - \sin x)(\sin x + 8) = 0

Maka $2 \cos x - \sin x = 0$ atau $\sin x + 8 = 0$ .

Karena $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , maka $\sin x \geq 0$ , sehingga $\sin x + 8 \neq 0$ .

Jadi $2 \cos x - \sin x = 0$

\sin x = 2 \cos x

\frac{\sin x}{\cos x} = 2

\tan x = 2 = \frac{2}{1}

Sisi depannya adalah $2$ , dan sisi sampingnya $1$ . Maka sisi miringnya adalah

\text{Mi} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}

Dengan begitu

\sin x = \frac{\text{de}}{\text{mi}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

\cos x = \frac{\text{sa}}{\text{mi}} = \frac{1}{\sqrt{5}}

Maka nilai $\sin 2x$

\sin 2x = 2 \sin x \cos x

\sin 2x = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}

\sin 2x = \frac{4}{5}

Command Palette

Nomor 1

Pembahasan

Nomor 2

Pembahasan

Nomor 3

Pembahasan

Nomor 4

Pembahasan

Nomor 5

Pembahasan

Nomor 6

Pembahasan

Nomor 7

Pembahasan

Nomor 8

Pembahasan

Nomor 9

Pembahasan

Nomor 10

Pembahasan

Nomor 11

Pembahasan

Nomor 12

Pembahasan

Nomor 13

Pembahasan

Nomor 14

Pembahasan

Nomor 15

Pembahasan

Nomor 16

Pembahasan

Nomor 17

Pembahasan

Nomor 18

Pembahasan

Nomor 19

Pembahasan

Nomor 20

Pembahasan

Nomor 21

Pembahasan

Nomor 22

Pembahasan

Nomor 23

Pembahasan

Nomor 24

Pembahasan

Nomor 25

Pembahasan

Nomor 26

Pembahasan

Nomor 27

Pembahasan

Nomor 28

Pembahasan

Nomor 29

Pembahasan

Nomor 30

Pembahasan

Nomor 31

Pembahasan

Nomor 32

Pembahasan

Nomor 33

Pembahasan

Nomor 34

Pembahasan

Nomor 35

Pembahasan

Nomor 36

Pembahasan

Nomor 37

Pembahasan

Nomor 38

Pembahasan

Nomor 39

Pembahasan