Matriks Simetris dan Hermitian

Definisi dan Makna Tiap Elemen

Matriks persegi real $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ disebut $simetris$ jika

A^T=A

Untuk setiap elemen, syarat yang sama dapat ditulis sebagai $a_{ji}=a_{ij}$ . Sebagai contoh,

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}

Matriks $A$ bersifat simetris karena elemen-elemennya sama pada kedua sisi diagonal utama.

Matriks persegi kompleks $H\in\mathbb{C}^{n\times n}$ disebut $Hermitian$ jika

H^H=H

Untuk setiap elemen, syarat Hermitian berarti $h_{ji}=\overline{h_{ij}}$ . Contoh dengan elemen kompleks adalah

H=\begin{pmatrix}2&1+i\\1-i&3\end{pmatrix}

Setiap matriks simetris real merupakan matriks Hermitian jika dipandang atas $\mathbb{C}$ . Kebalikannya tidak selalu benar karena matriks Hermitian dapat memiliki elemen kompleks di luar diagonal.

Pada diagonal, syarat Hermitian memberikan $h_{ii}=\overline{h_{ii}}$ , sehingga setiap elemen diagonal pasti real.

Hasil Kali Dalam Real dan Kompleks

Transpos dan konjugat transpos tidak boleh tertukar. Untuk $x\in\mathbb{R}^n$ ,

x^Tx=\sum_{k=1}^n x_k^2\geq0

Untuk $x\in\mathbb{C}^n$ , $gunakan konjugat transpos$ :

x^Hx=\sum_{k=1}^n\overline{x_k}x_k=\sum_{k=1}^n|x_k|^2\geq0

Pada kedua medan, bentuk yang sesuai bernilai nol tepat ketika $x=0$ . Untuk vektor kompleks, $x^Tx$ bahkan belum tentu real. Itulah sebabnya geometri kompleks memakai $x^Hx$ .

Bentuk Kuadrat dan Hermitian

Matriks simetris real mendefinisikan bentuk kuadrat

q:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

Matriks Hermitian mendefinisikan bentuk Hermitian bernilai real

q:\mathbb{C}^n\to\mathbb{R}

Untuk membuktikan bahwa $x^HHx$ bernilai real, ambil konjugat kompleks dari $x^HHx$ .

\overline{x^HHx}=(x^HHx)^H

Suatu skalar sama dengan konjugat kompleksnya tepat ketika skalar itu real. Pada kasus real, bagian antisimetris dari matriks mana pun tidak berkontribusi pada bentuk kuadrat:

x^TBx=x^T\left(\frac{B+B^T}{2}\right)x

Bagian antisimetris tidak berkontribusi karena $x^T(B-B^T)x=0$ . Jadi, $bentuk kuadrat hanya bergantung pada bagian simetris$ .

Mengapa Nilai Eigen Hermitian Selalu Real

Misalkan $Hv=\lambda v$ dengan $v\neq0$ . $Sifat Hermitian$ memberikan

\lambda v^Hv=v^HHv

Karena $v^Hv>0$ , kita memperoleh $\lambda=\overline{\lambda}$ dan dengan demikian $\lambda\in\mathbb{R}$ . Kesimpulan yang sama berlaku bagi matriks simetris real.

Mengapa Ruang Eigen yang Berbeda Saling Ortogonal

Misalkan $Hv=\lambda v$ dan $Hw=\mu w$ dengan $\lambda\neq\mu$ . Karena $kedua nilai eigen itu real$ ,

\lambda w^Hv=w^HHv

Jadi $(\lambda-\mu)w^Hv=0$ , sehingga $w^Hv=0$ . Untuk nilai eigen yang berulang, vektor eigen sembarang di dalam ruang eigen yang sama belum tentu ortogonal. Namun, Gram-Schmidt dapat memilih basis ortonormal di dalam ruang tersebut.

Dekomposisi Spektral dan Geometri Bentuk Kuadrat

Teorema spektral merangkum semua fakta tadi menjadi dekomposisi lengkap:

A=A^T\in\mathbb{R}^{n\times n}:\qquad A=Q\Lambda Q^T

Kolom-kolom $Q$ atau $U$ membentuk $basis eigen ortonormal$ , dan setiap elemen diagonal $\Lambda$ bernilai real. Jika $u_1,\ldots,u_n$ merupakan kolom $U$ , maka

x^HHx=\sum_{j=1}^n\lambda_j|u_j^Hx|^2

Rumus ini langsung menunjukkan bahwa $H$ definit positif tepat ketika semua nilai eigennya positif.

Diagonalisasi Hermitian yang Dihitung Lengkap

Untuk matriks sebelumnya,

H=\begin{pmatrix}2&1+i\\1-i&3\end{pmatrix}

Untuk matriks $H$ , polinomial karakteristiknya adalah

\begin{aligned} \det(H-\lambda I) &=(2-\lambda)(3-\lambda)-2 \\ &=(\lambda-1)(\lambda-4) \end{aligned}

$Vektor eigen ternormalisasi$ untuk $\lambda_1=1$ dan $\lambda_2=4$ ialah

u_1=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}-(1+i)\\1\end{pmatrix}

Keduanya memenuhi $u_1^Hu_2=0$ . Dengan $U=(u_1\quad u_2)$ ,

U^HHU=\operatorname{diag}(1,4)

Periksa ortogonalitas dan vektor eigen pertama secara langsung. Faktor normalisasi tetap berada di luar hasil kali.

u_1^Hu_2=\frac{-(1-i)(1+i)+2}{\sqrt{18}}=\frac{-2+2}{\sqrt{18}}=0