Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dengan Metode Analitis

Menghitung Resultan dengan Komponen

Metode grafis membantu kita melihat arah resultan, tetapi hasilnya bergantung pada ketelitian sketsa. Metode analitis lebih tepat karena memakai perhitungan komponen.

Caranya adalah menguraikan setiap vektor ke sumbu $x$ dan sumbu $y$ , menjumlahkan komponen yang searah sumbu, lalu menyusun kembali resultannya.

R_x=\sum F_x

Pada metode analitis, vektor dijumlahkan per sumbu, bukan langsung dari panjang panahnya.

Langkah Penjumlahan Vektor

Misalnya ada beberapa gaya $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ , dan $\vec{F}_3$ . Setiap gaya dipecah menjadi komponen horizontal dan vertikal.

Setelah semua komponen diketahui, komponen resultan dihitung dengan:

R_x=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}+\cdots

Besar resultannya kemudian diperoleh dari:

R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}

Arah resultan terhadap sumbu $x$ positif dapat dicari dengan:

\tan\theta=\frac{R_y}{R_x}

Jika $R_x$ atau $R_y$ bernilai negatif, tentukan kuadrannya dulu agar arah resultan tidak salah.

Contoh Perpindahan Dua Tahap

Seseorang berjalan dalam dua tahap. Tahap pertama setara dengan $80\text{ m}$ ke timur dan $60\text{ m}$ ke utara. Tahap kedua setara dengan $120\text{ m}$ ke timur dan $90\text{ m}$ ke utara.

Vektor perpindahan	Komponen $x$	Komponen $y$
$\vec{s}_1$	$80\text{ m}$	$60\text{ m}$
$\vec{s}_2$	$120\text{ m}$	$90\text{ m}$
$\vec{R}$	$200\text{ m}$	$150\text{ m}$

Komponen resultannya:

R_x=80+120=200\text{ m}

Besar perpindahan total:

\begin{aligned} R&=\sqrt{200^2+150^2} \\ &=\sqrt{40000+22500} \\ &=250\text{ m} \end{aligned}

Arah resultan:

\tan\theta=\frac{150}{200}=0{,}75

Maka $\theta\approx36{,}9^\circ$ di atas arah timur. Jadi, perpindahan totalnya $250\text{ m}$ dengan arah $36{,}9^\circ$ ke utara dari timur.

Pengurangan dengan Komponen

Pengurangan vektor juga dilakukan per komponen. Jika $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}$ , maka:

C_x=A_x-B_x

Misalnya $\vec{A}=7\hat{i}+4\hat{j}$ dan $\vec{B}=2\hat{i}+6\hat{j}$ .

\begin{aligned} \vec{C}&=(7-2)\hat{i}+(4-6)\hat{j} \\ &=5\hat{i}-2\hat{j} \end{aligned}

Tanda negatif pada $-2\hat{j}$ menunjukkan bahwa komponen $y$ hasilnya mengarah ke bawah.

Jadi, pengurangan tidak perlu aturan baru. Tetap gunakan sumbu yang sama, kurangi komponen yang sejenis, lalu baca tanda hasilnya sebagai arah komponen resultan.