Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dengan Metode Analitis

Menghitung Resultan dengan Komponen

Metode grafis menunjukkan arah resultan, tetapi ketepatan angkanya bergantung pada sketsa. Metode analitis menghitung komponen sehingga $menghasilkan nilai numerik yang dapat diperiksa ulang$ .

Caranya adalah menguraikan setiap vektor menjadi komponen vektor pada sumbu $x$ dan sumbu $y$ , menjumlahkan komponen yang searah sumbu, lalu menyusun kembali resultannya.

R_x=\sum F_x

Pada metode analitis, jumlahkan komponen vektor pada setiap sumbu. Panjang panah saja belum memberikan hasil penjumlahannya.

Langkah Penjumlahan Vektor

Misalnya ada beberapa gaya $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ , dan $\vec{F}_3$ . Setiap gaya dipecah menjadi $komponen horizontal dan vertikal$ .

Setelah semua komponen diketahui, komponen resultan dihitung dengan:

R_x=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}+\cdots

Besar resultannya kemudian diperoleh dari:

R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}

Gunakan arctangent dua argumen untuk mencari arah resultan terhadap sumbu $x$ positif:

\theta=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)

Berbeda dari $\tan^{-1}(R_y/R_x)$ , $\operatorname{atan2}$ memakai tanda kedua komponen untuk menempatkan arah pada kuadran yang benar.

Jika kedua komponen nol, resultannya adalah vektor nol dan $arahnya tidak terdefinisi$ . Jangan memberikan sudut fisik pada keluaran $\operatorname{atan2}(0,0)$ dari kalkulator atau program.

Contoh Perpindahan Dua Tahap

Seseorang berjalan dalam dua tahap. Tahap pertama setara dengan $80\text{ m}$ ke timur dan $60\text{ m}$ ke utara. Tahap kedua setara dengan $120\text{ m}$ ke timur dan $90\text{ m}$ ke utara.

Vektor perpindahan	Komponen $x$	Komponen $y$
$\vec{s}_1$	$80\text{ m}$	$60\text{ m}$
$\vec{s}_2$	$120\text{ m}$	$90\text{ m}$
$\vec{R}$	$200\text{ m}$	$150\text{ m}$

Jumlahkan $komponen pada sumbu yang sama$ untuk memperoleh komponen resultan:

R_x=80+120=200\text{ m}

Besar perpindahan total:

\begin{aligned} R&=\sqrt{200^2+150^2} \\ &=\sqrt{40\,000+22\,500} \\ &=\sqrt{62\,500} \\ &=250\text{ m} \end{aligned}

Arah resultan:

\tan\theta=\frac{150}{200}=0{,}75\quad\Rightarrow\quad\theta=\tan^{-1}(0{,}75)\approx36{,}9^\circ

Perpindahan totalnya $250\text{ m}$ dengan arah $36{,}9^\circ$ ke utara dari timur.

Pengurangan dengan Komponen

Pengurangan vektor juga dilakukan $per komponen pada sumbu yang sama$ . Jika $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}$ , maka:

C_x=A_x-B_x

Misalnya $\vec{A}=7\hat{i}+4\hat{j}$ dan $\vec{B}=2\hat{i}+6\hat{j}$ .

\begin{aligned} \vec{C}&=(7-2)\hat{i}+(4-6)\hat{j} \\ &=5\hat{i}-2\hat{j} \end{aligned}

Tanda negatif pada $-2\hat{j}$ menunjukkan bahwa komponen $y$ resultan mengarah ke bawah.

Selisih Dua Vektor

Panah

\vec{C}

dari ujung

\vec{B}

ke ujung

\vec{A}

memiliki komponen

(5,-2)

. Panah ungu yang dimulai di titik asal adalah vektor yang sama, hanya digeser.

Tanda komponen memberi arah kanan dan bawah. Untuk mendapatkan panjang panah, gunakan jumlah kuadrat komponen. Tanda negatif hilang setelah dikuadratkan.

\lvert\vec{C}\rvert=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}

Jadi, pengurangan tidak memerlukan aturan baru. Gunakan sumbu yang sama, kurangi komponen yang sejenis, lalu tentukan arah setiap komponen resultan dari tandanya.