Barisan Aritmetika

Selisih Tetap antara Dua Suku Berurutan

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan dengan selisih tetap antara setiap dua suku berurutan. Selisih tetap ini disebut beda dan dilambangkan dengan $b$. Untuk memeriksa apakah suatu barisan termasuk aritmetika, kurangi setiap suku dengan suku sebelumnya, lalu pastikan setiap pengurangan menghasilkan angka yang sama.

Contoh Barisan Aritmetika

Setiap suku pada barisan ini bertambah $2$:

Pada barisan ini:

• Selisih antara suku kedua dan pertama: $6 - 4 = 2$
• Selisih antara suku ketiga dan kedua: $8 - 6 = 2$
• Selisih antara suku keempat dan ketiga: $10 - 8 = 2$

Karena selisih antara dua suku berurutan selalu sama yaitu $2$, maka barisan ini merupakan barisan aritmetika dengan beda $b = 2$.

Beda pada Barisan Aritmetika

Beda ($b$) pada barisan aritmetika dapat dihitung dengan mengurangkan dua suku berurutan:

Keterangan:

• $U_n$ menyatakan suku ke-$n$
• $U_{n-1}$ menyatakan suku ke-$n-1$

Rumus Suku Umum

Dua bentuk menggambarkan barisan aritmetika yang sama. Rumus umum menghasilkan suku mana pun dari posisinya dengan memakai suku pertama dan beda. Bentuk rekursif menyusun setiap suku dari suku sebelumnya, dan kedua bentuk itu dimulai dari suku pertama yang sama.

Suku Umum Barisan Aritmetika

Untuk menentukan suku ke-$n$ pada barisan aritmetika, kita dapat menggunakan rumus:

Keterangan:

• $U_n$ = suku ke-$n$
• $a$ = suku pertama
• $n$ = nomor suku
• $b$ = beda

Cara Menurunkan Rumus

Jika kita menulis beberapa suku pertama dari barisan aritmetika:

• Suku ke-$1$: $U_1 = a$
• Suku ke-$2$: $U_2 = a + b$
• Suku ke-$3$: $U_3 = a + 2b$
• Suku ke-$4$: $U_4 = a + 3b$
• Suku ke-$5$: $U_5 = a + 4b$

Pola tersebut menghasilkan suku ke-$n$ berikut:

Bentuk Rekursif

Barisan aritmetika yang sama dapat ditentukan dari suku pertama dan aturan untuk menghasilkan suku berikutnya:

Rumus eksplisit memberikan suku mana pun secara langsung, sedangkan bentuk rekursif membangun barisan satu suku demi satu suku.

Aplikasi Barisan Aritmetika

Setiap contoh di bawah memberi nilai awal dan perubahan tetap pada setiap langkah. Pada contoh gedung pertunjukan, banyak kursi setiap baris bertambah empat kursi, dan rumus umum memberi banyak kursi untuk setiap nomor baris.

Gedung Pertunjukan Seni

Jumlah kursi di gedung pertunjukan seni ini bertambah pada setiap baris:

• Baris ke-$1$ memiliki $20$ kursi.
• Baris ke-$2$ memiliki $24$ kursi.
• Baris ke-$3$ memiliki $28$ kursi.
• Baris ke-$4$ memiliki $32$ kursi.
• Baris ke-$5$ memiliki $36$ kursi.

Untuk menentukan banyak kursi pada baris tertentu, kita perlu mencari pola dari data tersebut.

Langkah 1: Mencari beda antar baris

• $\text{Baris ke-}2 - \text{Baris ke-}1$: $24 - 20 = 4$
• $\text{Baris ke-}3 - \text{Baris ke-}2$: $28 - 24 = 4$
• $\text{Baris ke-}4 - \text{Baris ke-}3$: $32 - 28 = 4$
• $\text{Baris ke-}5 - \text{Baris ke-}4$: $36 - 32 = 4$

Selisih jumlah kursi pada setiap dua baris berurutan adalah $4$. Karena selisih antarbaris tetap, jumlah kursi membentuk barisan aritmetika dengan:

• Suku pertama $a = 20$
• Beda $b = 4$

Langkah 2: Menggunakan rumus untuk mencari jumlah kursi pada baris ke-$15$

Jadi, terdapat $76$ kursi pada baris ke-$15$.

Hasil ini hanya menyatakan jumlah kursi pada baris ke-$15$. Untuk mencari jumlah seluruh kursi pada lima belas baris pertama, kita memerlukan deret aritmetika yang bersesuaian.

Barisan Naik Turun dan Konstan

Barisan aritmetika naik jika $b>0$, turun jika $b<0$, dan konstan jika $b=0$. Contohnya:

Jadi, tanda beda menunjukkan arah perubahan barisan.

Latihan Pertama

Soal ini memberi dua suku barisan aritmetika pada posisi yang diketahui dan meminta rumus suku umum. Setiap posisi menghasilkan satu persamaan, dan menyelesaikan kedua persamaan itu bersama memberi nilai suku pertama dan beda.

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-$3$ sama dengan $9$ dan suku ke-$6$ sama dengan $18$. Tentukan rumus suku ke-$n$.

Kunci Jawaban Latihan Pertama

Untuk menentukan rumus suku umum, kita perlu mencari nilai suku pertama $(a)$ dan beda $(b)$.

Kita eliminasi persamaan di atas untuk mendapatkan nilai $b$:

Setelah mendapatkan nilai $b$, kita substitusikan ke persamaan pertama untuk mendapatkan nilai $a$:

Setelah mendapatkan nilai $a = 3$ dan $b = 3$, kita bisa merumuskan suku ke-$n$:

Jadi, rumus suku umum dari barisan tersebut adalah $U_n = 3n$

Sebagai pemeriksaan, substitusi $n=3$ dan $n=6$ harus menghasilkan kembali dua suku yang diketahui:

Latihan Kedua

Rudi menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal uang yang ditabung antarbulan tetap. Jika pada bulan ke-$5$, nominal uang yang ditabung $\text{Rp}70{.}000{,}00$ dan pada bulan ke-$9$ Rudi menabung sebesar $\text{Rp}90{.}000{,}00$.

1. Berapa rupiah selisih nominal uang yang ditabung antarbulan?

2. Berapa rupiah yang Rudi setorkan pada bulan pertama?

Kunci Jawaban Latihan Kedua

Tabungan Rudi membentuk barisan aritmetika karena selisih kenaikan nominal antarbulan tetap.

1. Mencari selisih nominal uang yang ditabung antarbulan

   $$U_5 = 70{.}000$$

   $$a + (5-1)b = 70{.}000$$

   $$a + 4b = 70{.}000 \text{ ... (persamaan 1)}$$

   $$U_9 = 90{.}000$$

   $$a + (9-1)b = 90{.}000$$

   $$a + 8b = 90{.}000 \text{ ... (persamaan 2)}$$

   Eliminasi persamaan 1 dan 2:

   $$4b = 20{.}000$$

   $$b = 5{.}000$$

   Jadi, selisih nominal uang yang ditabung Rudi antarbulan adalah $\text{Rp}5{.}000{,}00$.

2. Mencari setoran Rudi pada bulan pertama

   Kita sudah mendapatkan nilai $b = 5{.}000$, selanjutnya kita substitusikan ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai $a$:

   $$a + 4b = 70{.}000$$

   $$a + 4(5{.}000) = 70{.}000$$

   $$a + 20{.}000 = 70{.}000$$

   $$a = 70{.}000 - 20{.}000$$

   $$a = 50{.}000$$

   Jadi, Rudi menyetorkan $\text{Rp}50{.}000{,}00$ pada bulan pertama.