Deret Aritmetika

Menjumlahkan Suku dari Kedua Ujung Barisan

Anekdot terkenal tentang Carl Friedrich Gauss menggambarkan cara yang cerdik untuk menjumlahkan banyak bilangan. Dalam kisah tersebut, guru meminta para siswa menjumlahkan seluruh bilangan dari $1$ sampai $100$ : $1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$ .

Gauss tidak menjumlahkan sukunya satu per satu. Ia memasangkan bagian awal daftar dengan bagian akhir. Jumlah yang dibentuk dari suku-suku suatu barisan aritmetika disebut deret aritmetika.

Contohnya, $1, 2, 3, \dots, 100$ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $a=1$ dan beda $b=1$ . Deret aritmetikanya adalah $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ .

Pemasangan Suku oleh Gauss

Gauss memasangkan suku dari kedua ujung daftar:

Jika suku pertama $(1)$ dijumlahkan dengan suku terakhir $(100)$ , hasilnya $101$ .
Jika suku kedua $(2)$ dijumlahkan dengan suku kedua terakhir $(99)$ , hasilnya juga $101$ .
Jika suku ketiga $(3)$ dijumlahkan dengan suku ketiga terakhir $(98)$ , hasilnya tetap $101$ .
Pola yang sama berlanjut sampai bagian tengah daftar.

\begin{aligned} &\underbrace{1+100}_{101}, \underbrace{2+99}_{101}, \underbrace{3+98}_{101}, \dots, \\ &\underbrace{50+51}_{101} \end{aligned}

Ada $50$ pasang bilangan, dan setiap pasangan berjumlah $101$ . Jadi, jumlah keseluruhannya adalah $50 \times 101 = 5050$ .

Menemukan Rumus Umum

Cara Gauss tadi bisa kita pakai untuk membuat rumus umum jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika, yang biasa disimbolkan dengan $S_n$ .

Mulailah dengan sebuah deret aritmetika:

\begin{aligned} S_n &= U_1 + U_2 + U_3 \\ &\quad{}+ \dots + U_{n-1} + U_n \end{aligned}

Kalau ditulis lengkap dengan suku pertama $(a)$ dan beda $(b)$ :

\begin{aligned} S_n &= a + (a+b) + (a+2b) + \dots \\ &\quad{}+ (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b) \end{aligned}

Tuliskan deret $S_n$ yang sama dalam urutan terbalik, dari suku terakhir ke suku pertama:

S_n = U_n + U_{n-1} + \dots + U_2 + U_1

Atau:

\begin{aligned} S_n &= (a+(n-1)b) + (a+(n-2)b) \\ &\quad{}+ \dots + (a+b) + a \end{aligned}

Jumlahkan kedua bentuk $S_n$ tersebut suku demi suku:

\begin{aligned} S_n &= a + (a+b) \\ &\quad{}+ \dots + (a+(n-2)b) \\ &\quad{}+ (a+(n-1)b) \end{aligned}

Setiap pasangan suku pada baris atas dan bawah memiliki jumlah yang sama, yaitu $2a + (n-1)b$ . Karena setiap baris memuat $n$ suku, penjumlahan itu menghasilkan $n$ pasangan yang sama.

Jadi, kita dapatkan:

2S_n = n \times (2a + (n-1)b)

Dengan membagi kedua sisi dengan $2$ , kita peroleh rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika:

S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)

Penurunan rumus ini berlaku untuk $n$ genap maupun ganjil. Ketika $n$ ganjil, penulisan deret maju dan terbalik tetap menghitung suku tengah dengan benar karena kedua salinan deret ikut dijumlahkan.

Rumus Praktis Deret Aritmetika

Ada dua bentuk rumus yang paling sering digunakan untuk menghitung $S_n$ :

Jika diketahui suku pertama $(a)$ dan beda $(b)$ :

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)$
Jika diketahui suku pertama $(a)$ dan suku ke- $(n)$ $(U_n)$ : Ingat rumus suku ke- $n$ adalah $U_n = a + (n-1)b$ . Substitusi ini ke rumus pertama:
$S_n = \frac{n}{2}(a + a + (n - 1)b)$
Rumus kedua ini mirip cara Gauss: jumlah suku pertama dan terakhir, dikalikan banyaknya pasangan $(\frac{n}{2})$ .

Keterangan:

$S_n$ = Jumlah $n$ suku pertama
$n$ = Banyaknya suku
$a$ = Suku pertama ( $U_1$ )
$b$ = Beda (selisih antar suku)
$U_n$ = Suku ke- $n$

Menghitung Dua Deret Aritmetika

Kedua soal di bawah memberi suku-suku yang diperlukan untuk rumus jumlah. Substitusi nilainya lebih dulu, lalu bandingkan hasilmu dengan pembahasan. Pada tiap soal, tentukan dulu apakah deretnya aritmetika, karena pilihan itu menentukan rumus yang dipakai.

Soal Pertama

Hitung kembali jumlah deret $1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$ .

Diketahui:

Suku pertama $a = 1$
Suku terakhir $U_n = U_{100} = 100$
Banyaknya suku $n = 100$

Karena $a$ dan $U_n$ diketahui, kita pakai rumus kedua:

S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)

Jumlah $5050$ sama dengan hasil metode pemasangan Gauss.

Soal Kedua

Diketahui deret aritmetika: $13 + 16 + 19 + 22 + \dots$ . Hitunglah jumlah $30$ suku pertama $(S_{30})$ !

Diketahui:

Suku pertama $a = 13$
Beda $b = 16 - 13 = 3$
Banyaknya suku yang dicari $n = 30$

Karena $a$ dan $b$ diketahui, kita pakai rumus pertama:

S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)

Jadi, jumlah $30$ suku pertama deret tersebut adalah $1695$ .

Penerapan pada Kursi Gedung Pertunjukan

Sebuah gedung pertunjukan memiliki $20$ kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memiliki $4$ kursi lebih banyak. Jumlah kursi pada baris ke- $15$ dan jumlah seluruh kursi pada lima belas baris pertama adalah:

U_{15}=20+14\cdot4=76

Hasil pertama hanya menyatakan jumlah kursi pada baris ke- $15$ . Hasil kedua menyatakan jumlah kursi pada seluruh lima belas baris pertama, sehingga suku barisan dan jumlah deret menjawab dua pertanyaan yang berbeda.

Latihan

Hitung deret aritmetika berhingga berikut:

8+13+18+\dots+103

Penyelesaian

Tentukan dahulu banyaknya suku. Beda deret tersebut adalah $5$ :

103=8+(n-1)5

Jadi, jumlah deret tersebut adalah $1110$ .