Pengertian Deret Aritmetika
Pernah dengar cerita tentang Carl Friedrich Gauss, si jenius matematika? Saat masih SD, gurunya memberi tugas menjumlahkan semua bilangan dari sampai : . Gurunya berharap murid-muridnya akan sibuk lama.
For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Pernah dengar cerita tentang Carl Friedrich Gauss, si jenius matematika? Saat masih SD, gurunya memberi tugas menjumlahkan semua bilangan dari sampai : . Gurunya berharap murid-muridnya akan sibuk lama.
Tapi Gauss punya ide cemerlang! Dia tidak menjumlahkan satu per satu. Penjumlahan berurutan dari suku-suku suatu barisan aritmetika (barisan yang punya selisih tetap antar sukunya) inilah yang kita sebut Deret Aritmetika.
Contohnya, adalah barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda . Deret aritmetikanya adalah .
Gauss memperhatikan pola yang menarik:
Ternyata, ada pasang bilangan yang masing-masing jumlahnya . Jadi, total jumlahnya adalah . Cerdik, kan?
Cara Gauss tadi bisa kita pakai untuk membuat rumus umum jumlah suku pertama deret aritmetika, yang biasa disimbolkan dengan .
Misalkan kita punya deret aritmetika:
Kalau ditulis lengkap dengan suku pertama dan beda :
Sekarang, kita tulis ulang deret tapi urutannya dibalik, dari suku terakhir ke suku pertama:
Atau:
Selanjutnya, kita jumlahkan kedua versi tersebut, suku demi suku:
Perhatikan! Setiap pasang suku (atas dan bawah) jika dijumlahkan hasilnya selalu sama, yaitu . Karena ada suku, berarti ada pasang penjumlahan yang sama.
Jadi, kita dapatkan:
Dengan membagi kedua sisi dengan , kita peroleh rumus jumlah suku pertama deret aritmetika:
Ada dua bentuk rumus yang paling sering digunakan untuk menghitung :
Jika diketahui suku pertama dan beda :
Jika diketahui suku pertama dan suku ke- : Ingat rumus suku ke- adalah . Substitusi ini ke rumus pertama:
Keterangan:
Hitung kembali jumlah deret .
Diketahui:
Karena dan diketahui, kita pakai rumus kedua:
Hasilnya sama persis dengan cara Gauss!
Diketahui deret aritmetika: . Hitunglah jumlah suku pertama !
Diketahui:
Karena dan diketahui, kita pakai rumus pertama:
Jadi, jumlah suku pertama deret tersebut adalah .
Rumus kedua ini mirip cara Gauss: jumlah suku pertama dan terakhir, dikalikan banyaknya pasangan .