Deret Geometri

Konsep Deret Geometri

Perhatikan data jumlah pasien terinfeksi Covid-19 dalam tabel berikut:

Bulan	Januari	Februari	Maret	April	Mei

Data di atas menunjukkan pola peningkatan jumlah pasien setiap bulannya. Jika kita jumlahkan jumlah pasien dari bulan pertama hingga bulan tertentu, kita akan membentuk sebuah Deret Geometri.

Deret Geometri adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan antara dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan ini disebut rasio (dilambangkan dengan $r$ ).

Pada data pasien Covid-19:

Suku pertama ( $a$ atau $U_1$ ) adalah $4$ .
Rasio $(r) = \frac{12}{4} = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = \frac{324}{108} = 3$ .

Jadi, barisan jumlah pasiennya adalah $4, 12, 36, 108, 324$ . Deret geometrinya adalah jumlahan suku-suku barisan tersebut:

Jumlah $2 \text{ bulan}$ pertama $(S_2) = 4 + 12 = 16$
Jumlah $3 \text{ bulan}$ pertama $(S_3) = 4 + 12 + 36 = 52$
Jumlah $4 \text{ bulan}$ pertama $(S_4) = 4 + 12 + 36 + 108 = 160$
dan seterusnya.

Menemukan Rumus Jumlah Suku Pertama

Bagaimana cara menghitung jumlah $n$ suku pertama $(S_n)$ tanpa harus menjumlahkan satu per satu? Mari kita temukan rumusnya.

Perhatikan tabel ini yang menunjukkan proses menemukan kembali rumus jumlah deret geometri:

Notasi	Penjumlahan Langsung	Menggunakan $U_{n+1}$ dan $U_1$	Bentuk Umum
$S_2$	$4 + 12 = 16$	$S_2 = \frac{36 - 4}{3 - 1} = \frac{32}{2} = 16$

Dari kanan bawah di tabel, kita dapatkan bentuk umum:

S_n = \frac{U_{n+1} - U_1}{r - 1}

Kita tahu bahwa rumus suku ke- $n$ pada barisan geometri adalah $U_n = ar^{n-1}$ . Maka, $U_{n+1} = ar^{(n+1)-1} = ar^n$ . Substitusikan $U_{n+1} = ar^n$ dan $U_1 = a$ ke dalam rumus $S_n$ :

S_n = \frac{ar^n - a}{r - 1}

Ini adalah rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri.

Rumus Deret Geometri

Secara umum, rumus untuk menghitung jumlah $n$ suku pertama deret geometri adalah:

S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \text{ untuk} r > 1

atau

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, \text{ untuk} r < 1

Keterangan:

$S_n$ = jumlah $n$ suku pertama
$a$ = suku pertama $(U_1)$
$r$ = rasio $(r \neq 1)$
$n$ = banyaknya suku

Contoh Penerapan

Sebuah perusahaan sepeda pada tahun $2020$ meningkat setiap bulannya dan membentuk barisan geometri. Produksi pada bulan Januari sebanyak $120 \text{ unit}$ . Pada bulan April, hasil produksi mencapai $3.240 \text{ unit}$ . Berapakah total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei?

Penyelesaian:

Produksi Januari $(U_1) = a = 120$
Produksi April $(U_4) = 3.240$
Ditanya: Total produksi hingga Mei $(S_5)$

Langkah $1$ : Cari rasio $(r)$

U_4 = ar^{4-1} = ar^3

Langkah $2$ : Hitung $S_5$ Karena $r = 3 > 1$ , gunakan rumus:

S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}

Jadi, total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei adalah $14.520 \text{ unit}$ .