Apa itu Konjugat Bilangan Kompleks?
Setiap bilangan kompleks memiliki "pasangan" yang disebut konjugat (atau sekawan). Konjugat dari ditulis dengan simbol .
For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Setiap bilangan kompleks memiliki "pasangan" yang disebut konjugat (atau sekawan). Konjugat dari ditulis dengan simbol .
Cara mendapatkan konjugat sangat mudah: ubah tanda bagian imajinernya saja.
Jika adalah suatu bilangan kompleks, dengan sebagai bagian real dan sebagai bagian imajiner, maka konjugatnya adalah:
Artinya, bagian real () tetap, sedangkan tanda bagian imajiner () dibalik (positif menjadi negatif, negatif menjadi positif).
Mari kita lihat beberapa contoh:
Jika
Di sini, dan .
Maka konjugatnya . (Tanda bagian imajiner menjadi )
Jika
Kita bisa tulis . Di sini, dan .
Jika
Di sini, dan .
Maka konjugatnya . (Tanda bagian imajiner menjadi )
Jika
Kita bisa tulis . Di sini, dan .
Secara geometris, konjugat adalah pencerminan dari terhadap sumbu real (sumbu ) pada bidang kompleks.
Mungkinkah sebuah bilangan kompleks sama dengan konjugatnya ? Jika iya, apa syaratnya?
Jawaban:
Ya, mungkin. Agar , maka:
Ini hanya bisa terjadi jika , yang berarti .
Karena , maka haruslah .
Jadi, suatu bilangan kompleks sama dengan konjugatnya jika dan hanya jika bagian imajinernya adalah nol, atau dengan kata lain, jika bilangan kompleks tersebut adalah bilangan real.
Operasi konjugat memiliki beberapa sifat menarik yang berguna dalam perhitungan. Misalkan dan adalah sembarang bilangan kompleks.
Konjugat dari hasil penjumlahan (atau pengurangan) dua bilangan kompleks sama dengan penjumlahan (atau pengurangan) dari masing-masing konjugatnya.
Konjugat dari hasil perkalian (atau pembagian) dua bilangan kompleks sama dengan perkalian (atau pembagian) dari masing-masing konjugatnya.
Konjugat dari invers suatu bilangan kompleks sama dengan invers dari konjugatnya.
Mengambil konjugat dua kali akan mengembalikan bilangan kompleks ke bentuk aslinya.
Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan hubungan menarik dengan bagian real dan imajinernya:
Perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan kuadrat dari modulusnya (sebuah bilangan real non-negatif).
Tentukan sekawan (konjugat) dari setiap bilangan kompleks berikut!
Pertama, sederhanakan bilangan kompleksnya:
. Karena adalah bilangan real ( ),
maka konjugatnya adalah .
Sederhanakan dulu:
Ingat bahwa
.
Langsung gunakan definisi: .
Maka konjugatnya . (Bagian imajiner , tandanya tidak berubah)
Konjugat dari bilangan real adalah bilangan real itu sendiri.
Maka konjugatnya . (Tanda bagian imajiner menjadi )
Konjugat dari bilangan imajiner murni adalah negatifnya.
Maka, .
Konjugatnya adalah .