Konjugat Bilangan Kompleks

Membalik Tanda Bagian Imajiner

Setiap bilangan kompleks $z = x + iy$ memiliki konjugat (atau sekawan), yang ditulis dengan simbol $\bar{z}$.

Konjugat diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner. Bagian real tetap mempertahankan nilai dan tandanya, sedangkan hanya suku yang dikalikan $i$ yang berubah.

Definisi Konjugat Bilangan Kompleks

Jika $z = x + iy$ adalah suatu bilangan kompleks, dengan $x$ sebagai bagian real dan $y$ sebagai bagian imajiner, maka konjugatnya adalah:

Artinya, bagian real ($x$) tetap, sedangkan tanda bagian imajiner ($y$) dibalik (positif menjadi negatif, negatif menjadi positif).

Menerapkan Aturan Konjugat pada Berbagai Bentuk

Terapkan definisi tersebut pada beberapa bentuk bilangan kompleks:

1. Jika $z = 2 + i$

   Di sini, $x=2$ dan $y=1$.

   Maka konjugatnya $\bar{z} = 2 - i$. (Tanda bagian imajiner $+1$ menjadi $-1$)

2. Jika $z = 2$

   Kita bisa tulis $z = 2 + 0i$. Di sini, $x=2$ dan $y=0$.

   Maka konjugatnya $\bar{z} = 2 - 0i = 2$. (Bagian imajiner $0$, tandanya tidak berubah)

   Konjugat dari bilangan real adalah bilangan real itu sendiri.

3. Jika $z = 3 - 2i$

   Di sini, $x=3$ dan $y=-2$.

   Maka konjugatnya $\bar{z} = 3 - (-2i) = 3 + 2i$. (Tanda bagian imajiner $-2$ menjadi $+2$)

4. Jika $z = 3i$

   Kita bisa tulis $z = 0 + 3i$. Di sini, $x=0$ dan $y=3$.

   Maka konjugatnya $\bar{z} = 0 - 3i = -3i$. (Tanda bagian imajiner $+3$ menjadi $-3$)

   Konjugat dari bilangan imajiner murni adalah negatifnya.

Visualisasi Konjugat

Secara geometris, konjugat $\bar{z}$ adalah pencerminan dari $z$ terhadap sumbu real (sumbu $x$) pada bidang kompleks.

Kesamaan dengan Konjugat

Mungkinkah sebuah bilangan kompleks $z=x+iy$ sama dengan konjugatnya $\bar{z}=x-iy$? Jika iya, apa syaratnya?

Penurunan:

Mulai dari $z = \bar{z}$:

Ini hanya bisa terjadi jika $iy = -iy$, yang berarti $2iy = 0$.

Karena $i \neq 0$, maka haruslah $y=0$.

Jadi, suatu bilangan kompleks sama dengan konjugatnya jika dan hanya jika bagian imajinernya adalah nol, atau dengan kata lain, jika bilangan kompleks tersebut adalah bilangan real.

Sifat Operasi Konjugat

Misalkan $z, z_1,$ dan $z_2$ adalah bilangan kompleks. Operasi konjugat memenuhi aturan berikut. Semua aturan itu berasal dari satu sifat yang sama: menerapkan konjugat dua kali mengembalikan bilangan asalnya, dan perubahan tanda itu mengikuti penjumlahan, perkalian, serta pembagian tanpa mengubah bagian realnya.

Penjumlahan dan Pengurangan

Konjugat dari hasil penjumlahan (atau pengurangan) dua bilangan kompleks sama dengan penjumlahan (atau pengurangan) dari masing-masing konjugatnya.

Perkalian dan Pembagian

Konjugat dari hasil perkalian (atau pembagian) dua bilangan kompleks sama dengan perkalian (atau pembagian) dari masing-masing konjugatnya.

Invers

Konjugat dari invers suatu bilangan kompleks sama dengan invers dari konjugatnya.

Ganda

Mengambil konjugat dua kali akan mengembalikan bilangan kompleks ke bentuk aslinya.

Hubungan dengan Bagian Real dan Imajiner

Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dengan konjugatnya memisahkan bagian real dan imajiner:

Perkalian dengan Konjugat

Perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan kuadrat dari modulusnya (sebuah bilangan real non-negatif).

Latihan

Tentukan konjugat dari setiap bilangan kompleks berikut. Dua di antaranya memuat pangkat $i$ atau pembagian oleh $i$, jadi sederhanakan lebih dulu, lalu baca konjugatnya dari bentuk yang sudah disederhanakan.

1. $2+i^2$
2. $1+\frac{1}{i}$
3. $1+2i$

Pembahasan

1. Sederhanakan bilangan kompleksnya:

   $z = 2+i^2 = 2+(-1) = 1$. Karena $z=1$ adalah bilangan real ($1+0i$ ),

   maka konjugatnya adalah $\bar{z} = 1$.

2. Sederhanakan dulu:

   Rasionalkan penyebut dengan mengalikannya dengan $-i$:

   $$\begin{aligned} \frac{1}{i} &= \frac{1}{i} \times \frac{-i}{-i} \\ &= \frac{-i}{-i^2} \\ &= \frac{-i}{-(-1)} \\ &= \frac{-i}{1} \\ &= -i \end{aligned}$$

   Maka, $z = 1 + \frac{1}{i} = 1 - i$.

   Konjugatnya adalah $\bar{z} = 1 - (-i) = 1 + i$.

3. $z = 1+2i$.

   Langsung gunakan definisi: $\bar{z} = 1 - 2i$.