Invers Bilangan Kompleks

Mengalikan Bilangan Kompleks dengan Inversnya

Setiap bilangan kompleks tak nol $z = x + iy$ memiliki invers perkalian, yang ditulis sebagai $z^{-1}$ atau $1/z$ .

Jika bilangan kompleks $z$ dikalikan dengan inversnya $z^{-1}$ , hasilnya adalah $1$ , yaitu elemen identitas perkalian.

z \times z^{-1} = 1

Menemukan Rumus Invers

Kita sudah tahu dari materi sifat perkalian bilangan kompleks bahwa untuk $z = x + iy$ , inversnya adalah:

z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}

Rumus ini bisa juga ditulis sebagai pasangan terurut:

z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{y}{x^2+y^2} \right)

Ingat juga bentuk lain yang sering berguna, menggunakan konjugat ( $\bar{z} = x-iy$ ) dan kuadrat modulus ( $|z|^2 = x^2+y^2$ ):

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Menentukan Invers Bilangan Kompleks

Tentukan invers dari $z = 1 - i$ .

Penyelesaian:

Di sini, $x=1$ dan $y=-1$ .

Menggunakan rumus pertama:

\begin{aligned} x^2+y^2 &= (1)^2 + (-1)^2 \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}

Menggunakan rumus konjugat dan modulus:

\bar{z} = 1 - (-1)i = 1+i

Kedua rumus memberikan invers yang sama:

z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \text{ atau} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)

Pastikan nilai $z^{-1}$ benar dengan mengalikan $z^{-1}$ dengan bilangan semula:

\begin{aligned} &(1-i)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right) \\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)i \\ &=1 \end{aligned}

Visualisasi

z

dan

z^{-1}

Bilangan

z = 1-i

dan inversnya

z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i

berada pada sisi yang berlawanan dari sumbu real. Nilai mutlak kedua bilangan saling berkebalikan.

Diberikan bilangan kompleks $z_1 = 1-i$ dan $z_2 = 2+3i$ . Tentukan invers dari $z_1 + z_2$ . Hasilnya harus memenuhi $(z_1 + z_2) \cdot w = 1$ , dan itu pemeriksaan yang bisa kamu pakai pada jawabanmu. Jumlahkan dulu kedua bilangan kompleksnya komponen demi komponen, lalu baru cari invers dari hasil penjumlahan itu.

Pembahasan

Langkah 1: Cari $z_1 + z_2$ .

\begin{aligned} z &= z_1 + z_2 \\ &= (1-i) + (2+3i) \\ &= (1+2) + (-1+3)i \\ &= 3+2i \end{aligned}

Langkah 2: Cari invers dari $z = 3+2i$ . Di sini $x=3$ dan $y=2$ . Kita gunakan rumus $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ .

\bar{z} = 3-2i

Jadi, invers dari $z_1 + z_2$ adalah $\frac{3}{13} - \frac{2}{13}i$ .