Memahami Bilangan Kompleks

Kebutuhan Bilangan Kompleks

Perhatikan persamaan kuadrat $x^2 - 1 = 0$. Pemfaktoran memberi $(x-1)(x+1) = 0$, sehingga kedua solusinya, $x=1$ dan $x=-1$, merupakan bilangan real.

Persamaan $x^2 + 1 = 0$ berbeda. Persamaan itu mengharuskan $x^2 = -1$, sedangkan kuadrat setiap bilangan real selalu tidak negatif. Karena itu, persamaan tersebut tidak memiliki solusi real.

Bilangan kompleks memperluas sistem bilangan real agar persamaan seperti ini dapat diselesaikan.

Bilangan Imajiner

Satuan imajiner, yang dilambangkan dengan $i$, didefinisikan melalui persamaan

Dengan konvensi akar kuadrat utama, hubungan ini juga ditulis sebagai

Untuk bilangan real tak negatif $a$, akar kuadrat utama dari $-a$ adalah $i\sqrt{a}$. Contohnya:

Bilangan seperti $2i$ dan $3i$ disebut bilangan imajiner murni.

Bentuk Umum

Bilangan kompleks secara umum ditulis sebagai $z = a + bi$ dengan keterangan berikut:

• $a=\operatorname{Re}(z)$ adalah bagian real.
• $b=\operatorname{Im}(z)$ adalah bagian imajiner.
• $i$ adalah satuan imajiner ($\sqrt{-1}$ ).

Nilai $a$ dan $b$ keduanya bilangan real. Bentuk $bi$ merupakan suku imajiner, sedangkan koefisiennya, $b$, merupakan bagian imajiner.

Menentukan Bagian Real dan Imajiner

Tentukan bagian real dan imajiner pada setiap contoh berikut:

1. $2 + 3i$

   • Bagian real ($a$): $2$
   • Bagian imajiner ($b$): $3$

2. $5 - 4i$ Ini sama dengan $5 + (-4)i$.

   • Bagian real ($a$): $5$
   • Bagian imajiner ($b$): $-4$

3. $\sqrt{2}$ Ini adalah bilangan real biasa, tapi bisa juga dianggap bilangan kompleks dengan bagian imajiner $0$. Bentuknya $\sqrt{2} + 0i$.

   • Bagian real ($a$): $\sqrt{2}$
   • Bagian imajiner ($b$): $0$

4. $-7i$ Ini adalah bilangan imajiner murni. Bentuknya $0 + (-7)i$.

   • Bagian real ($a$): $0$
   • Bagian imajiner ($b$): $-7$

Latihan

Tentukan bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks berikut. Dua di antaranya menyembunyikan nilainya di dalam akar atau pangkat $i$, jadi sederhanakan setiap ekspresi lebih dulu, baru sebutkan kedua bagiannya.

1. $2 + \sqrt{(-2)^2}$
2. $2 + i^2$
3. $1 + \sqrt{-9}$
4. $1 + 2i$

Pembahasan

1. $2 + \sqrt{(-2)^2} = 2 + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4$.

   Ini bisa ditulis sebagai $4 + 0i$.

   • Bagian real: $4$
   • Bagian imajiner: $0$

2. $2 + i^2 = 2 + (-1) = 1$.

   Ini bisa ditulis sebagai $1 + 0i$.

   • Bagian real: $1$
   • Bagian imajiner: $0$

3. $1 + \sqrt{-9} = 1 + 3i$.

   Ini bisa ditulis sebagai $1 + 3i$.

   • Bagian real: $1$
   • Bagian imajiner: $3$

4. $1 + 2i$.

   Ini bisa ditulis sebagai $1 + 2i$.

   • Bagian real: $1$
   • Bagian imajiner: $2$