Penjumlahan Bilangan Kompleks

Menjumlahkan Sesama Bagian Real dan Imajiner

Mulailah dengan dua bilangan kompleks:

Untuk membentuk $z_1 + z_2$, jumlahkan sesama bagian real dan lakukan hal yang sama pada bagian imajiner.

Menjumlahkan Dua Bilangan Kompleks Tertentu

Misal $z_1 = 2 + 3i$ dan $z_2 = 1 - i$.

• Bagian real $z_1$ adalah $2$, bagian real $z_2$ adalah $1$.
• Bagian imajiner $z_1$ adalah $3$, bagian imajiner $z_2$ adalah $-1$.

Maka penjumlahannya:

Menjumlahkan pada Bidang Kompleks

Dengan aturan jajar genjang, penjumlahan bilangan kompleks bisa kita lihat secara geometris di bidang kompleks. Kalau kita gambarkan $z_1$ dan $z_2$ sebagai vektor (panah) dari titik asal $(0, 0)$, maka hasil penjumlahannya, $z_1 + z_2$, adalah vektor diagonal dari jajar genjang yang dibentuk oleh $z_1$ dan $z_2$.

Perkalian Skalar Negasi dan Pengurangan

Pemisahan bagian real dan imajiner juga berlaku pada perkalian skalar, negasi, dan pengurangan. Perkalian dengan bilangan real menskalakan kedua bagian, negasi membalik kedua tandanya, dan pengurangan menggabungkan negasi dengan penjumlahan. Setiap aturan bekerja pada kedua bagian itu secara terpisah, jadi kamu tidak perlu mencampurnya.

Perkalian Skalar

Saat bilangan kompleks $z = x + iy$ dikalikan dengan skalar real $c$, skalar tersebut mengalikan bagian real dan bagian imajiner.

Pada bidang kompleks, perkalian ini mengubah panjang vektor $z$ dengan faktor $|c|$. Jika $c$ negatif, arah vektornya juga berbalik.

Negatif dari Bilangan Kompleks

Negatif dari $z = x + iy$ adalah $-z$. Ini sama saja dengan perkalian skalar dengan $c = -1$.

Secara geometris, $-z$ adalah vektor dengan panjang yang sama dengan $z$, tapi arahnya berlawanan $180^\circ$.

Pengurangan Dua Bilangan Kompleks

Mengurangkan $z_2$ dari $z_1$ ($z_1 - z_2$) sama artinya dengan menjumlahkan $z_1$ dengan negatif dari $z_2$ ($z_1 + (-z_2)$).

Jadi, kita kurangkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Secara geometris, $z_1 - z_2$ adalah vektor dari ujung $z_2$ ke ujung $z_1$.

Menggabungkan Penjumlahan Pengurangan dan Perkalian Skalar

Gunakan dua bilangan berikut:

Hitung tiga bentuk berikut dengan memisahkan bagian real dan imajinernya:

1. $2z_1$ (Perkalian Skalar):

   $$\begin{aligned} 2z_1 &= 2(2 + \frac{1}{2}i) \\ &= 2(2) + i(2 \times \frac{1}{2}) \\ &= 4 + i \end{aligned}$$

2. $z_1 + 3z_2$ (Penjumlahan dan Perkalian Skalar):

   $$z_1 + 3z_2 = (2 + \frac{1}{2}i) + 3(-3 + \sqrt{2}i)$$

   $$= (2 + \frac{1}{2}i) + (3(-3) + i(3\sqrt{2}))$$

   $$= (2 + \frac{1}{2}i) + (-9 + 3\sqrt{2}i)$$

   $$= (2 - 9) + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})$$

   $$= -7 + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})$$

3. $2z_1 - z_2$ (Pengurangan dan Perkalian Skalar):

   $$2z_1 - z_2 = (4 + i) - (-3 + \sqrt{2}i)$$

   $$= (4 - (-3)) + i(1 - \sqrt{2})$$

   $$= (4 + 3) + i(1 - \sqrt{2})$$

   $$= 7 + i(1 - \sqrt{2})$$

Latihan

Diberikan $z_1=1+2i$ dan $z_2=3-i$. Latihan ini melatih penjumlahan dan pengurangan pada dua bentuk sekaligus, lalu meminta kamu menempatkan hasilnya pada bidang kompleks. Hitung dulu setiap hasilnya, baru gambarkan ketiga vektornya.

Diberikan $z_1=1+2i$ dan $z_2=3-i$. Tentukan:

1. $z_1 + z_2$
2. $z_1 - z_2$
3. Untuk $z_3=z_1+z_2$, gambarkan $z_1$, $z_2$, dan $z_3$ pada bidang kompleks.

Penyelesaian

Jumlahkan dan kurangkan bagian yang bersesuaian, lalu baca hasil penjumlahannya sebagai diagonal pada bidang kompleks.

1. Jumlahkan bagian real dan bagian imajiner secara terpisah:

   $$\begin{aligned} z_1+z_2 &=(1+3)+i(2+(-1)) \\ &=4+i \end{aligned}$$

2. Kurangkan bagian-bagian yang bersesuaian:

   $$\begin{aligned} z_1-z_2 &=(1-3)+i(2-(-1)) \\ &=-2+3i \end{aligned}$$

3. Vektor $z_1$ dan $z_2$ menjadi dua sisi jajar genjang. Diagonalnya berakhir di $z_3=z_1+z_2=4+i$:

   Penjumlahan Bilangan Kompleks

   Vektor $z_1$ dan $z_2$ membentuk sisi-sisi jajar genjang. $z_3=z_1+z_2$ menjadi diagonalnya.

   KisiRotasi otomatis