Penjumlahan Bilangan Kompleks

Untuk menjumlahkannya ($z_1 + z_2$), kita tinggal jumlahkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Contoh Penjumlahan

Misal $z_1 = 2 + 3i$ dan $z_2 = 1 - i$.

• Bagian real $z_1$ adalah $2$, bagian real $z_2$ adalah $1$.
• Bagian imajiner $z_1$ adalah $3$, bagian imajiner $z_2$ adalah $-1$.

Maka penjumlahannya:

Visualisasi Penjumlahan

Dengan aturan jajar genjang, penjumlahan bilangan kompleks bisa kita lihat secara geometris di bidang kompleks. Kalau kita gambarkan $z_1$ dan $z_2$ sebagai vektor (panah) dari titik asal $(0, 0)$, maka hasil penjumlahannya, $z_1 + z_2$, adalah vektor diagonal dari jajar genjang yang dibentuk oleh $z_1$ dan $z_2$.

Operasi Terkait

Selain penjumlahan, ada operasi lain yang mirip cara kerjanya:

Perkalian Skalar

Mengalikan bilangan kompleks $z = x + iy$ dengan bilangan real (skalar) $c$ itu mudah. Tinggal kalikan $c$ ke bagian real dan bagian imajinernya.

Secara geometris, ini seperti memperpanjang atau memperpendek vektor $z$ sebesar faktor $c$. Kalau $c$ negatif, arah vektornya jadi berlawanan.

Negatif dari Bilangan Kompleks

Negatif dari $z = x + iy$ adalah $-z$. Ini sama saja dengan perkalian skalar dengan $c = -1$.

Secara geometris, $-z$ adalah vektor dengan panjang yang sama dengan $z$, tapi arahnya berlawanan $180^\circ$.

Pengurangan Dua Bilangan Kompleks

Mengurangkan $z_2$ dari $z_1$ ($z_1 - z_2$) sama artinya dengan menjumlahkan $z_1$ dengan negatif dari $z_2$ ($z_1 + (-z_2)$).

Jadi, kita kurangkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Secara geometris, $z_1 - z_2$ adalah vektor dari ujung $z_2$ ke ujung $z_1$.

Contoh Operasi Gabungan

Misal kita punya:

Mari hitung beberapa operasi:

1. $2z_1$ (Perkalian Skalar):

   $$2z_1 = 2(2 + \frac{1}{2}i) = 2(2) + i(2 \times \frac{1}{2}) = 4 + i$$

2. $z_1 + 3z_2$ (Penjumlahan dan Perkalian Skalar):

   $$z_1 + 3z_2 = (2 + \frac{1}{2}i) + 3(-3 + \sqrt{2}i)$$

3. $2z_1 - z_2$ (Pengurangan dan Perkalian Skalar):

   $$2z_1 - z_2 = (4 + i) - (-3 + \sqrt{2}i)$$

Latihan

Jika $z_1 = 1 + 2i$ dan $z_2 = 3 - i$. Tentukan:

1. $z_1 + z_2$
2. $z_1 - z_2$
3. Jika $z_3 = z_1 + z_2$, gambarkan $z_1$, , dan pada bidang kompleks.

Kunci Jawaban

1. $z_1 + z_2 = (1+3) + i(2+(-1)) = 4 + i$
2. $z_1 - z_2 = (1-3) + i(2-(-1)) = -2 + i(3) = -2 + 3i$

3. Buat visualisasi $z_1$, $z_2$, dan $z_3 = z_1 + z_2$ pada bidang kompleks menggunakan aturan jajar genjang: