Busur Lingkaran

Hubungan Busur dengan Tali Busur

Setiap busur lingkaran memiliki hubungan erat dengan tali busur yang menghubungkan kedua ujungnya. Tali busur adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik ujung busur, sedangkan busur adalah jalur melengkung di sepanjang keliling lingkaran. Pada busur panah, talinya berupa garis lurus dan kayunya melengkung.

Untuk busur kecil pada lingkaran yang sama, sudut pusat yang lebih besar menghasilkan busur dan tali busur yang lebih panjang, tetapi hubungannya tidak linear. Setelah melewati $180^\circ$, busur besar terus memanjang sedangkan tali busurnya memendek, karena tali busur tersebut juga dimiliki oleh busur kecil pelengkapnya.

Rumus Panjang Tali Busur

Jari-jari dan sudut pusat menentukan panjang tali busur:

Pada rumus ini:

• $c$ = panjang tali busur
• $r$ = jari-jari lingkaran
• $\theta$ = sudut pusat. Gunakan mode derajat untuk derajat dan mode radian untuk radian

Rumus ini menentukan panjang tali busur dari jari-jari dan sudut pusat sebuah busur lingkaran. Rumus tersebut dapat dipakai untuk menentukan geometri ideal jendela bundar, lengkungan, atau bentuk melengkung lainnya. Struktur nyata tetap memerlukan analisis beban, material, dan tumpuan secara terpisah.

Tinggi Busur dan Sagita

Tinggi busur, atau sagita, adalah jarak dari titik tengah tali busur ke busur kecil yang bersesuaian, diukur tegak lurus terhadap tali busur. Bersama tali busur, sagita menentukan bentuk sebuah busur lingkaran ideal.

Pada rumus ini:

• $h$ = tinggi busur (sagita)
• $r$ = jari-jari lingkaran
• $\theta$ = sudut pusat. Hitung kosinus dalam satuan sudut yang sama dengan $\theta$

Diagram berikut menandai tali busur, titik tengahnya, dan ruas tegak lurus yang panjangnya sama dengan sagita.

Busur dalam Sistem Koordinat

Dalam sistem koordinat Kartesius, busur dapat direpresentasikan menggunakan persamaan parametrik:

Di sini, $t$ adalah parameter yang bervariasi dari sudut awal hingga sudut akhir busur.

Contoh Lengkungan Lingkaran Ideal

Sebuah lengkungan lingkaran ideal memiliki jari-jari $25 \text{ meter}$ dan sudut pusat $120^\circ$. Tali busur menyatakan bentangnya, sedangkan sagita menyatakan tinggi lengkungan.

Menghitung panjang tali busur:

Menghitung tinggi busur:

Latihan

Setiap soal mencampur ukuran lingkaran dengan ukuran busur, jadi tandai dulu besaran mana yang diketahui sebelum memilih rumusnya.

1. Sebuah lengkungan lingkaran ideal memiliki jari-jari $30 \text{ m}$ dan sudut pusat $90^\circ$. Hitung panjang tali busur dan tinggi busurnya.

2. Pada penampang melingkar ideal sebuah kubah, tinggi busurnya $8 \text{ m}$ dan jari-jari lingkarannya $15 \text{ m}$. Tentukan sudut pusat busur tersebut.

3. Sebuah busur kecil memiliki panjang tali busur $24 \text{ m}$ dan jari-jari $15 \text{ m}$. Hitung sudut pusat kecil dan tinggi busurnya.

4. Dalam sistem koordinat, sebuah busur dimulai dari titik $(4, 0)$ dan berakhir di titik $(0, 4)$ pada lingkaran berpusat di titik asal. Tentukan parameterisasi baku dalam radian untuk busur kecil tersebut.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Diketahui: $r = 30 \text{ m}$ dan $\theta = 90^\circ$

   Panjang tali busur:

   $$\begin{aligned} c &= 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ &= 2 \times 30 \times \sin(45^\circ) \end{aligned}$$

   $$c = 60 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \text{ m} \approx 42{,}43 \text{ m}$$

   Tinggi busur:

   $$\begin{aligned} h &= r\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \\ &= 30\left(1 - \cos(45^\circ)\right) \end{aligned}$$

   $$h = 30\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 8{,}79 \text{ m}$$

2. Penyelesaian:

   Diketahui: $h = 8 \text{ m}$ dan $r = 15 \text{ m}$

   Langkah 1: Gunakan rumus tinggi busur

   $$8 = 15\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$$

   Langkah 2: Isolasi $\cos$

   $$\frac{8}{15} = 1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

   $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$$

   Langkah 3: Hitung sudut

   $$\frac{\theta}{2} = \arccos\left(\frac{7}{15}\right) \approx 62{,}18^\circ$$

   $$\theta \approx 124{,}36^\circ$$

3. Penyelesaian:

   Diketahui: $c = 24 \text{ m}$ dan $r = 15 \text{ m}$

   Langkah 1: Gunakan rumus tali busur

   $$24 = 2 \times 15 \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

   $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{24}{30} = 0{,}8$$

   Langkah 2: Hitung sudut pusat kecil

   $$\frac{\theta}{2} = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ$$

   $$\theta \approx 106{,}26^\circ$$

   Langkah 3: Hitung tinggi busur

   $$\begin{aligned} h &= 15\left(1 - \cos(53{,}13^\circ)\right) \\ &= 15(1 - 0{,}6) \\ &= 6 \text{ m} \end{aligned}$$

4. Penyelesaian:

   • Titik awal: $(4, 0)$ → $t_1 = 0$
   • Titik akhir: $(0, 4)$ → $t_2 = \frac{\pi}{2}$
   • Jari-jari: $r = 4$

   Persamaan parametrik:

   $$x = 4\cos(t)$$

   $$y = 4\sin(t)$$

   $$0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$$