Tali Busur

Ruas Garis antara Dua Titik pada Lingkaran

Tali busur adalah ruas garis yang kedua ujungnya terletak pada lingkaran. Tali tegang yang direntangkan di antara dua titik pada keliling dapat menjadi modelnya. Setiap tali busur menentukan busur kecil dan busur besar, serta membagi cakram menjadi tembereng kecil dan tembereng besar.

Di antara tali busur pada lingkaran yang sama, tali busur yang lebih jauh dari pusat lebih pendek. Tali busur terpanjang melalui pusat dan disebut diameter.

Konfigurasi Tali Busur yang Berguna

Konfigurasi berikut menetapkan titik dan panjang yang dipakai dalam perhitungan tali busur:

1. Tali busur bukan diameter: Tali busur yang tidak melalui pusat. Panjangnya lebih pendek daripada diameter lingkaran yang sama.

2. Diameter: Tali busur yang melalui pusat. Diameter adalah tali busur terpanjang dan membagi cakram menjadi dua setengah lingkaran.

3. Tali busur sejajar: Hubungan antara dua atau lebih tali busur yang garis pemuatnya sejajar. Panjangnya sama tepat ketika jarak tegak lurusnya dari pusat juga sama.

Hubungan Tali Busur dengan Jarak ke Pusat

Jarak yang dipakai adalah jarak tegak lurus dari pusat ke tali busur. Garis tegak lurus dari pusat membagi tali busur menjadi dua sama panjang. Terbentuk segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $d$ dan $l/2$, serta sisi miring $r$.

Jika $d$ adalah jarak tegak lurus tersebut, $r$ adalah jari-jari, dan $l$ adalah panjang tali busur, teorema Pythagoras memberikan:

Rumus ini menunjukkan bahwa ketika $d = 0$ (tali busur melalui pusat), maka $l = 2r$ yang merupakan diameter.

Sifat Tali Busur yang Sama Panjang

Tali busur yang sama panjang pada lingkaran yang sama memiliki jarak tegak lurus yang sama dari pusat. Sebaliknya, tali busur dengan jarak tegak lurus yang sama dari pusat memiliki panjang yang sama.

Jadi, jika dua tali busur sama panjang, maka:

1. Jarak kedua tali busur ke pusat lingkaran adalah sama
2. Busur kecil yang bersesuaian memiliki panjang yang sama
3. Sudut pusat kecil yang dibentang memiliki besar yang sama

Teorema Tali Busur Berpotongan

Ketika dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran, terdapat hubungan khusus antara segmen-segmen yang terbentuk. Jika tali busur $AB$ dan $CD$ berpotongan di titik $P$, maka:

Hubungan ini disebut teorema tali busur berpotongan. Gunakan teorema ini untuk menentukan satu panjang ruas jika tiga panjang ruas lainnya diketahui.

Latihan

Setiap soal memberikan bagian-bagian lingkaran dan meminta panjang tali busurnya, jadi gunakan jari-jari dan jarak tegak lurus dari pusat ke tali busur.

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $13 \text{ cm}$. Jika jarak sebuah tali busur ke pusat lingkaran adalah $5 \text{ cm}$, tentukan panjang tali busur tersebut.

2. Dalam sebuah lingkaran dengan jari-jari $10 \text{ cm}$, terdapat tali busur dengan panjang $16 \text{ cm}$. Tentukan jarak tali busur tersebut ke pusat lingkaran.

3. Dua tali busur dan dalam lingkaran yang sama memiliki panjang masing-masing dan . Jika jari-jari lingkaran adalah , tentukan selisih jarak kedua tali busur ke pusat lingkaran.

Pembahasan

1. Jawaban: $24 \text{ cm}$

   Diketahui: $r = 13 \text{ cm}$, $d = 5 \text{ cm}$

   Menggunakan rumus panjang tali busur: