Juring Lingkaran

Daerah di antara Dua Jari-jari dan Busur Lingkaran

Juring lingkaran adalah daerah pada cakram yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur di antara keduanya. Irisan yang dipotong dari pusat kue bundar atau satu siung jeruk memiliki bentuk yang kurang lebih serupa.

Juring terdiri dari tiga komponen utama:

• Dua garis jari-jari yang bertemu di pusat lingkaran
• Satu busur yang menghubungkan ujung kedua jari-jari tersebut

Kedua jari-jari membentuk sudut pusat di pusat lingkaran. Pada jari-jari yang tetap, sudut ini menentukan bagian cakram yang ditempati juring.

Hubungan Sudut Pusat dengan Luas Juring

Pada jari-jari yang tetap, luas juring berbanding lurus dengan sudut pusatnya. Jika sudutnya menjadi dua kali lipat, luas juring yang bersesuaian juga menjadi dua kali lipat.

Hubungan antara sudut pusat dan luas juring dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan. Jika sudut pusat adalah $\alpha$ derajat, maka luas juring merupakan $\frac{\alpha}{360^\circ}$ bagian dari luas keseluruhan lingkaran.

Rumus ini menunjukkan bahwa luas juring sebanding dengan sudut pusatnya. Ketika sudut pusat adalah $90^\circ$, maka luas juring akan menjadi seperempat dari luas lingkaran. Begitu pula ketika sudut pusat $180^\circ$, luas juring akan menjadi setengah dari luas lingkaran.

Menghitung Luas Juring

Luas juring ditentukan oleh jari-jari lingkaran dan besar sudut pusat. Sudut tersebut menentukan bagian lingkaran yang termasuk dalam juring.

Lihat contoh perhitungan. Misalkan terdapat lingkaran dengan jari-jari $14 \text{ cm}$ dan sudut pusat $60^\circ$. Luas juring dapat dihitung sebagai berikut:

Luas juring tepatnya $\frac{98\pi}{3} \text{ cm}^2$, atau sekitar $102{,}63 \text{ cm}^2$.

Perbandingan Sudut Pusat dengan Luas Juring

Perbandingan berikut memperlihatkan bagaimana luas juring bertambah bersama sudut pusatnya:

Latihan

Setiap soal meminta luas juring, jadi nyatakan besar sudut pusatnya dalam radian lalu gunakan rumus luas juring.

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $21 \text{ cm}$. Tentukan luas juring yang dibentuk oleh sudut pusat $120^\circ$.

2. Sebuah juring memiliki luas $49\pi \text{ cm}^2$ pada lingkaran berjari-jari $14 \text{ cm}$. Berapakah sudut pusatnya?

3. Sebuah roti pipih bundar berdiameter $28 \text{ cm}$ dipotong secara radial melalui pusatnya menjadi $8$ juring sama besar. Tentukan luas setiap potongan.

Pembahasan

1. Langkah Penyelesaian:

   Diketahui: $r = 21 \text{ cm}$, $\alpha = 120^\circ$

   $$\text{Luas Juring} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2$$

   $$= \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 21^2$$

   $$= \frac{1}{3} \times \pi \times 441$$

   $$= \frac{441\pi}{3}$$

   $$= 147\pi \text{ cm}^2$$

   $$\approx 461{,}81 \text{ cm}^2$$

2. Langkah Penyelesaian:

   Diketahui: luas juring = $49\pi \text{ cm}^2$, $r = 14 \text{ cm}$

   $$49\pi = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi \times 14^2$$

   $$49\pi = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 196\pi$$

   $$49 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 196$$

   $$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{49}{196}$$

   $$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{1}{4}$$

   $$\alpha = \frac{1}{4} \times 360^\circ$$

   $$\alpha = 90^\circ$$

3. Langkah Penyelesaian:

   Diketahui: diameter = $28 \text{ cm}$, maka $r = 14 \text{ cm}$ Roti dipotong secara radial menjadi $8$ juring sama besar, maka sudut pusat setiap potongan adalah $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

   $$\begin{aligned} &\text{Luas setiap potongan} \\ &= \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 14^2 \end{aligned}$$

   $$= \frac{1}{8} \times \pi \times 196$$

   $$= \frac{196\pi}{8}$$

   $$= \frac{49\pi}{2} \text{ cm}^2$$

   $$\approx 76{,}97 \text{ cm}^2$$