Sejarah Nilai Pi

Definisi Pi

Pada setiap lingkaran, perbandingan keliling terhadap diameternya selalu sama. Konstanta itu disebut $\pi$ (pi), dan nilainya diawali oleh $3{,}14159$.

Secara matematis, $\pi$ dapat didefinisikan sebagai:

Perbandingan ini tidak bergantung pada ukuran lingkaran. Jika semua panjang diperbesar dua kali, keliling dan diameter ikut menjadi dua kali sehingga perbandingannya tetap.

Pendekatan Awal

Sumber kuno yang masih bertahan mencatat beberapa nilai pendekatan. Salah satu pendekatan Mesopotamia adalah $\pi \approx \frac{25}{8}=3{,}125$.

Papirus Matematika Rhind dari Mesir, yang diperkirakan berasal dari sekitar $1650 \text{ SM}$, memuat aturan yang setara dengan $\pi \approx \frac{256}{81}$. Nilainya sekitar $3{,}16049$. Kedua pecahan tersebut bukan nilai eksak $\pi$, dan pendekatan Mesopotamia $3{,}125$ justru lebih dekat di antara keduanya.

Metode Archimedes dan Poligon

Archimedes dari Sirakusa, matematikawan Yunani yang hidup sekitar $287\text{-}212 \text{ SM}$, mengembangkan metode sistematis untuk membatasi nilai $\pi$ dengan lebih presisi. Ia membandingkan poligon beraturan yang berada di dalam dan di luar lingkaran.

Keliling poligon beraturan di dalam lingkaran lebih kecil daripada keliling lingkaran. Keliling poligon beraturan di luar yang setiap sisinya menyinggung lingkaran lebih besar. Semakin banyak sisinya, semakin dekat batas bawah dan batas atas tersebut.

Dengan poligon bersisi $96$, Archimedes membuktikan bahwa $\pi$ berada di antara $\frac{223}{71}$ dan $\frac{22}{7}$. Jadi, $\frac{22}{7}$ menjadi batas atas dalam perhitungan ini. Nilainya sedikit lebih besar daripada $\pi$:

Kontribusi Matematikawan Tiongkok

Pada abad ke-$5$ Masehi, matematikawan dan astronom Tiongkok Zu Chongzhi menyempurnakan metode poligon dan memperoleh batas $3{,}1415926 < \pi < 3{,}1415927$. Lebar selang ini hanya $10^{-7}$.

Zu Chongzhi juga memberikan pendekatan $\pi \approx \frac{355}{113}$, yaitu $3{,}1415929$. Pecahan ini sama dengan $\pi$ pada enam angka pertama di belakang koma. Batas tujuh desimalnya baru dilampaui oleh karya al-Kashi pada abad ke-$15$, hampir seribu tahun kemudian.

Era Modern dan Simbol Pi

Matematikawan Wales William Jones menggunakan $\pi$ dengan maknanya yang sekarang dalam karya "Synopsis Palmariorum Matheseos" pada tahun $1706$. Notasi ini belum langsung digunakan secara universal.

Leonhard Euler kemudian memakai simbol tersebut dalam karya-karyanya yang berpengaruh, sehingga $\pi$ berkembang menjadi notasi baku yang masih digunakan sampai sekarang.

Sifat Istimewa Pi

Bilangan $\pi$ bersifat irasional sehingga tidak dapat ditulis sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Johann Heinrich Lambert memberikan bukti ketat pertama bahwa $\pi$ irasional pada abad ke-$18$. Pada $1882$, Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa $\pi$ juga transenden, artinya bukan akar dari polinom tak nol dengan koefisien rasional.

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menggunakan pendekatan $\pi \approx 3{,}14$ atau $\pi \approx \frac{22}{7}$ untuk perhitungan praktis. Namun, untuk aplikasi yang memerlukan presisi tinggi seperti teknologi satelit atau penelitian fisika, diperlukan lebih banyak angka desimal.

Perbandingan yang mendefinisikan $\pi$ pada lingkaran adalah:

Pada kedua rumus tersebut, $C$ adalah keliling, $d$ adalah diameter, $A$ adalah luas, dan $r$ adalah jari-jari lingkaran.