Pembuktian Sifat

Sifat Eksponen dan Pembuktiannya

Kita akan membahas sifat-sifat eksponen dan pembuktiannya. Sifat-sifat ini sangat penting untuk dipahami karena menjadi dasar dalam menyelesaikan berbagai persoalan eksponen dan logaritma.

Sifat Pertama

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Untuk setiap $a \neq 0$ dan $m, n$ bilangan real.

Sifat Kedua

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Untuk setiap $a \neq 0$ dan $m, n$ bilangan real.

Sifat Ketiga

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Untuk setiap $a \neq 0$ dan $m, n$ bilangan real.

Sifat Keempat

(ab)^m = a^m \cdot b^m

Untuk setiap $a, b \neq 0$ dan $m$ bilangan bulat.

Pembuktian:

Metode pertama:

(ab)^m = \underbrace{ab \times ab \times ab \times \ldots \times ab}_{m\text{ faktor}}

Metode kedua:

Kita dapat mengambil beberapa contoh dengan nilai $m, a$ dan $b$ tertentu untuk melihat pola yang terbentuk. Misalnya dengan $m=2, a=3, b=4$ :

(3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144

Sifat Kelima

\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}

Untuk setiap $a \neq 0, b \neq 0$ dan $m$ bilangan bulat.

Pembuktian:

\left(\frac{a}{b}\right)^m = \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \ldots \times \frac{a}{b}}_{m\text{ faktor}}

Sifat Keenam

(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m+p}{n}}

Untuk setiap $a > 0$ , $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{n}$ bilangan rasional dengan $n \neq 0$ .

Pembuktian:

Dengan menggunakan Sifat $1$ , kita memperoleh:

(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{n}}

Sifat Ketujuh

(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{mq + pn}{nq}}

Untuk setiap $a > 0$ , $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{q}$ bilangan rasional dengan $n, q \neq 0$ .

Pembuktian:

Dengan menggunakan Sifat $1$ , kita perlu menyamakan penyebut dari pangkat:

(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}

Contoh Soal

Menentukan Nilai dan Pembuktian

$(3^4)^2 = 3^p$
Solusi: Menggunakan Sifat $3$ , $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$
$b^4 \cdot b^5 = b^9$
Solusi: Menggunakan Sifat $1$ , $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$b^4 \cdot b^5 = b^{4+5} = b^9$
$(3\pi)^p = 27\pi^3$
Solusi: Mengubah $27\pi^3$ menjadi $3^3 \cdot \pi^3$
$27\pi^3 = 3^3 \cdot \pi^3 = (3\pi)^3$

Menyederhanakan

$\left(\frac{2^4 \times 3^6}{2^3 \times 3^2}\right)^3$ $\left(\frac{2^4 \times 3^6}{2^3 \times 3^2}\right)^3 = \left(2^{4-3} \times 3^{6-2}\right)^3$
$(3u^3v^5)(9u^4v)$ $(3u^3v^5)(9u^4v) = 3 \cdot 9 \cdot u^{3+4} \cdot v^{5+1}$
$\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2$ $\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2 = \left(\frac{n^{-1}r^4}{5} \cdot \frac{1}{n^{-6}r^{-4}}\right)^2$

Sifat Eksponen dan Pembuktiannya

Kita akan membahas sifat-sifat eksponen dan pembuktiannya. Sifat-sifat ini sangat penting untuk dipahami karena menjadi dasar dalam menyelesaikan berbagai persoalan eksponen dan logaritma.

Sifat Pertama

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Untuk setiap $a \neq 0$ dan $m, n$ bilangan real.

Sifat Kedua

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Untuk setiap $a \neq 0$ dan $m, n$ bilangan real.

Sifat Ketiga

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Untuk setiap $a \neq 0$ dan $m, n$ bilangan real.

Sifat Keempat

(ab)^m = a^m \cdot b^m

Untuk setiap $a, b \neq 0$ dan $m$ bilangan bulat.

Pembuktian:

Metode pertama:

(ab)^m = \underbrace{ab \times ab \times ab \times \ldots \times ab}_{m\text{ faktor}}

Metode kedua:

Kita dapat mengambil beberapa contoh dengan nilai $m, a$ dan $b$ tertentu untuk melihat pola yang terbentuk. Misalnya dengan $m=2, a=3, b=4$ :

(3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144

Sifat Kelima

\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}

Untuk setiap $a \neq 0, b \neq 0$ dan $m$ bilangan bulat.

Pembuktian:

\left(\frac{a}{b}\right)^m = \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \ldots \times \frac{a}{b}}_{m\text{ faktor}}

Sifat Keenam

(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m+p}{n}}

Untuk setiap $a > 0$ , $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{n}$ bilangan rasional dengan $n \neq 0$ .

Pembuktian:

Dengan menggunakan Sifat $1$ , kita memperoleh:

(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{n}}

Sifat Ketujuh

(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{mq + pn}{nq}}

Untuk setiap $a > 0$ , $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{q}$ bilangan rasional dengan $n, q \neq 0$ .

Pembuktian:

Dengan menggunakan Sifat $1$ , kita perlu menyamakan penyebut dari pangkat:

(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}

Contoh Soal

Menentukan Nilai dan Pembuktian

$(3^4)^2 = 3^p$
Solusi: Menggunakan Sifat $3$ , $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$
$b^4 \cdot b^5 = b^9$
Solusi: Menggunakan Sifat $1$ , $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$b^4 \cdot b^5 = b^{4+5} = b^9$
$(3\pi)^p = 27\pi^3$
Solusi: Mengubah $27\pi^3$ menjadi $3^3 \cdot \pi^3$
$27\pi^3 = 3^3 \cdot \pi^3 = (3\pi)^3$

Menyederhanakan

$\left(\frac{2^4 \times 3^6}{2^3 \times 3^2}\right)^3$ $\left(\frac{2^4 \times 3^6}{2^3 \times 3^2}\right)^3 = \left(2^{4-3} \times 3^{6-2}\right)^3$
$(3u^3v^5)(9u^4v)$ $(3u^3v^5)(9u^4v) = 3 \cdot 9 \cdot u^{3+4} \cdot v^{5+1}$
$\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2$ $\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2 = \left(\frac{n^{-1}r^4}{5} \cdot \frac{1}{n^{-6}r^{-4}}\right)^2$