Sifat Eksponen

Tabel Nilai Eksponen untuk Basis Dua

$2^n$	Hasil Perpangkatan
$2^1$	$2$
$2^2$	$4$
$2^3$	$8$
$2^4$	$16$
$2^5$	$32$
$2^6$	$64$
$2^7$	$128$
$2^8$	$256$
$2^9$	$512$
$2^{10}$	$1024$

Sifat-Sifat Eksponen

Terdapat beberapa sifat eksponen yang perlu dipahami:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , dengan $a \neq 0, m, n$ bilangan bulat

Ini berarti perkalian dua eksponen dengan basis sama menghasilkan eksponen baru dengan pangkat yang dijumlahkan.
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , dengan $a \neq 0, m, n$ bilangan bulat

Pembagian dua eksponen dengan basis sama menghasilkan eksponen baru dengan pangkat yang dikurangkan.
$(a^m)^n = a^{m \times n}$ , dengan $a \neq 0, m, n$ bilangan bulat

Eksponen dari eksponen berarti pangkat dikali dengan pangkat luar.
$(ab)^m = a^m \times b^m$ , dengan $a, b \neq 0$ , dan $m$ bilangan bulat

Eksponen dari perkalian sama dengan perkalian masing-masing basis berpangkat sama.
$\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$ , dengan $b \neq 0$ , dan $m$ bilangan bulat

Eksponen dari pembagian sama dengan pembagian masing-masing basis berpangkat sama.
$(a^\frac{m}{n})^p \cdot (a^\frac{p}{n}) = (a)^\frac{m+p}{n}$
, dengan $a > 0$ , $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{n}$ bilangan rasional dengan $n \neq 0$
$(a^\frac{m}{n}) \cdot (a^\frac{p}{q}) = (a)^\frac{m \cdot q + p \cdot n}{n \cdot q}$
, dengan $a > 0$ , $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{q}$ bilangan rasional dengan $n, q \neq 0$

Pentingnya Syarat pada Setiap Sifat

Setiap sifat eksponen memiliki syarat tertentu:

Pada sifat $1$ , $2$ , dan $3$ , nilai $a \neq 0$ karena eksponen dengan basis $0$ hanya terdefinisi untuk pangkat positif.
Pada sifat $4$ , nilai $a, b \neq 0$ untuk memastikan eksponen terdefinisi.
Pada sifat $5$ , nilai $b \neq 0$ untuk menghindari pembagian dengan nol.
Pada sifat $6$ dan $7$ , nilai $a > 0$ karena eksponen rasional pada bilangan negatif dapat menghasilkan bilangan kompleks.

Pemahaman sifat-sifat eksponen ini sangat penting sebagai dasar untuk pembelajaran matematika lanjutan, seperti logaritma, fungsi eksponen, dan kalkulus.

Contoh Penyelesaian

Sederhanakan $\frac{2^5 \times 2^3}{2^2}$

$\frac{2^5 \times 2^3}{2^2} = \frac{2^{5+3}}{2^2} = \frac{2^8}{2^2} = 2^{8-2} = 2^6 = 64$
Sederhanakan $2^2 \cdot 2^3$

$2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32$
Sederhanakan $2^5 \cdot 2^2$

$2^5 \cdot 2^2 = 2^{5+2} = 2^7 = 128$
Sederhanakan $2^3 \cdot 2^7$

$2^3 \cdot 2^7 = 2^{3+7} = 2^{10} = 1024$
Sederhanakan $\frac{2^8}{2^6}$

$\frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4$
Sederhanakan $\frac{2^{10}}{2^3}$

$\frac{2^{10}}{2^3} = 2^{10-3} = 2^7 = 128$
Sederhanakan $\frac{2^6}{2^4}$

$\frac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4$
Sederhanakan $(2^3)^3$

$(2^3)^3 = 2^{3 \times 3} = 2^9 = 512$
Sederhanakan $(2^4)^2$

$(2^4)^2 = 2^{4 \times 2} = 2^8 = 256$
Sederhanakan $(2^2)^5$

$(2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10} = 1024$

2^n

Hasil Perpangkatan

2^1

2

2^2

4

2^3

8

2^4

16

2^5

32

2^6

64

2^7

128

2^8

256

2^9

512

2^{10}

1024

Sifat-Sifat Eksponen

Terdapat beberapa sifat eksponen yang perlu dipahami:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , dengan $a \neq 0, m, n$ bilangan bulat

Ini berarti perkalian dua eksponen dengan basis sama menghasilkan eksponen baru dengan pangkat yang dijumlahkan.

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , dengan $a \neq 0, m, n$ bilangan bulat

Pembagian dua eksponen dengan basis sama menghasilkan eksponen baru dengan pangkat yang dikurangkan.

$(a^m)^n = a^{m \times n}$ , dengan $a \neq 0, m, n$ bilangan bulat

Eksponen dari eksponen berarti pangkat dikali dengan pangkat luar.

$(ab)^m = a^m \times b^m$ , dengan $a, b \neq 0$ , dan $m$ bilangan bulat

Eksponen dari perkalian sama dengan perkalian masing-masing basis berpangkat sama.

$\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$ , dengan $b \neq 0$ , dan $m$ bilangan bulat

Eksponen dari pembagian sama dengan pembagian masing-masing basis berpangkat sama.

(a^\frac{m}{n})^p \cdot (a^\frac{p}{n}) = (a)^\frac{m+p}{n}

, dengan $a > 0$ , $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{n}$ bilangan rasional dengan $n \neq 0$

(a^\frac{m}{n}) \cdot (a^\frac{p}{q}) = (a)^\frac{m \cdot q + p \cdot n}{n \cdot q}

, dengan $a > 0$ , $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{q}$ bilangan rasional dengan $n, q \neq 0$

Pentingnya Syarat pada Setiap Sifat

Setiap sifat eksponen memiliki syarat tertentu:

Pada sifat

1

2

, dan

3

, nilai

a \neq 0

karena eksponen dengan basis

0

hanya terdefinisi untuk pangkat positif.

Pada sifat

4

, nilai

a, b \neq 0

untuk memastikan eksponen terdefinisi.

Pada sifat

5

, nilai

b \neq 0

untuk menghindari pembagian dengan nol.

Pada sifat

6

dan

7

, nilai

a > 0

karena eksponen rasional pada bilangan negatif dapat menghasilkan bilangan kompleks.

Pemahaman sifat-sifat eksponen ini sangat penting sebagai dasar untuk pembelajaran matematika lanjutan, seperti logaritma, fungsi eksponen, dan kalkulus.

Contoh Penyelesaian

Sederhanakan $\frac{2^5 \times 2^3}{2^2}$

\frac{2^5 \times 2^3}{2^2} = \frac{2^{5+3}}{2^2} = \frac{2^8}{2^2} = 2^{8-2} = 2^6 = 64

Sederhanakan $2^2 \cdot 2^3$

2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32

Sederhanakan $2^5 \cdot 2^2$

2^5 \cdot 2^2 = 2^{5+2} = 2^7 = 128

Sederhanakan $2^3 \cdot 2^7$

2^3 \cdot 2^7 = 2^{3+7} = 2^{10} = 1024

Sederhanakan $\frac{2^8}{2^6}$

\frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4

Sederhanakan $\frac{2^{10}}{2^3}$

\frac{2^{10}}{2^3} = 2^{10-3} = 2^7 = 128

Sederhanakan $\frac{2^6}{2^4}$

\frac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4

Sederhanakan $(2^3)^3$

(2^3)^3 = 2^{3 \times 3} = 2^9 = 512

Sederhanakan $(2^4)^2$

(2^4)^2 = 2^{4 \times 2} = 2^8 = 256

Sederhanakan $(2^2)^5$

(2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10} = 1024