For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Seperti halnya eksponen, logaritma juga memiliki beberapa sifat penting yang perlu dipahami. Sifat-sifat ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai persoalan logaritma.
Misalkan a > 0 a > 0 a > 0 a ≠ 1 a \neq 1 a = 1
a , b , c , m , n a, b, c, m, n a , b , c , m , n ( a , b , c , m , n ∈ R ) (a, b, c, m, n \in \mathbb{R}) ( a , b , c , m , n ∈ R ) sifat-sifat logaritma
a log a = 1 ^a\log a = 1 a log a = 1
a log 1 = 0 ^a\log 1 = 0 a log 1 = 0
a log a n = n ^a\log a^n = n a log a n = n
a log ( b × c ) = a log b + a log c ^a\log (b \times c) = ^a\log b + ^a\log c a log ( b × c ) = a log b + a log c
a log ( b c ) = a log b − a log c ^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log b - ^a\log c a log ( c b ) = a log b − a log c
a log b n = n ⋅ a log b ^a\log b^n = n \cdot ^a\log b a log b n = n ⋅ a log b
a log b = m log b m log a = 1 b log a ^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a} = \frac{1}{^b\log a} a log b = m l o g a m l o g b = b l o g a 1
a log b × b log c = a log c ^a\log b \times ^b\log c = ^a\log c a log b × b log c = a log c
Sifat 4 4 4 a log ( b × c ) = a log b + a log c ^a\log (b \times c) = ^a\log b + ^a\log c a log ( b × c ) = a log b + a log c
Bukti: Misalkan a log b = m ^a\log b = m a log b = m a log c = n ^a\log c = n a log c = n
b = a m b = a^m b = a m c = a n c = a^n c = a n
Menggunakan sifat eksponen:
Sifat 5 5 5 a log ( b c ) = a log b − a log c ^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log b - ^a\log c a log ( c b ) = a log b − a log c
Bukti: Misalkan a log b = m ^a\log b = m a log b = m a log c = n ^a\log c = n a log c = n
Maka b = a m b = a^m b = a m c = a n c = a^n c = a n
Ingat bahwa a m a n = a m − n \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a n a m = a m − n
Sifat 6 6 6 a log b n = n ⋅ a log b ^a\log b^n = n \cdot ^a\log b a log b n = n ⋅ a log b
Bukti: Misalkan a log b = m ^a\log b = m a log b = m
a log b n ^a\log b^n a log b n b b b n n n
a log b n = a log ( b × b × b × … × b ⏟ n faktor ) ^a\log b^n = ^a\log (\underbrace{b \times b \times b \times \ldots \times b}_{n \text{ faktor}}) a log b n = a log ( n faktor b × b × b × … × b ) Menggunakan sifat 4 4 4
Sifat 7 7 7 a log b = m log b m log a = 1 b log a ^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a} = \frac{1}{^b\log a} a log b = m l o g a m l o g b = b l o g a 1
Bukti:
Berdasarkan definisi logaritma, a log b = c ^a\log b = c a log b = c b = a c b = a^c b = a c
Misalkan kita menggunakan basis m m m b b b
Karena c = a log b c = ^a\log b c = a log b
Sifat 8 8 8 a log b × b log c = a log c ^a\log b \times ^b\log c = ^a\log c a log b × b log c = a log c
Bukti:
Berdasarkan definisi:
Substitusi nilai b b b c c c
Karena c = a m n c = a^{mn} c = a mn
Misalkan kita ingin menghitung 5 log 125 ^5\log 125 5 log 125
Sederhanakan bentuk akar berikut ini.
9 log 81 ^9\log 81 9 log 81
2 log 64 − 2 log 16 ^2\log 64 - ^2\log 16 2 log 64 − 2 log 16
4 log 16 10 ^4\log 16^{10} 4 log 1 6 10
Jika 5 log 4 = m ^5\log 4 = m 5 log 4 = m 4 log 3 = n ^4\log 3 = n 4 log 3 = n 12 log 100 ^{12}\log 100 12 log 100
Penduduk kota A A A 2010 2010 2010 300.000 jiwa 300.000 \text{ jiwa} 300.000 jiwa A A A 6 % 6\% 6% A A A
Berapa waktu yang dibutuhkan sehingga uang Dini yang tadinya Rp 2.000.000,00 \text{Rp}2.000.000{,}00 Rp 2.000.000 , 00 Rp 6.500.000,00 \text{Rp}6.500.000{,}00 Rp 6.500.000 , 00 12 % 12\% 12%
Menentukan nilai logaritma
Jawaban:
Jawaban:
Jawaban:
Dinyatakan bahwa 5 log 4 = m ^5\log 4 = m 5 log 4 = m 4 log 3 = n ^4\log 3 = n 4 log 3 = n
Maka:
Jumlah penduduk awal adalah 300.000 jiwa 300.000 \text{ jiwa} 300.000 jiwa
Pertumbuhan penduduk per tahun 6 % 6\% 6%
Fungsi yang tepat untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk dalam x tahun x \text{ tahun} x tahun
Tabungan awal adalah Rp 2.000.000,00 \text{Rp}2.000.000{,}00 Rp 2.000.000 , 00
Tabungan akhir adalah Rp 6.500.000,00 \text{Rp}6.500.000{,}00 Rp 6.500.000 , 00
Bunga adalah 12 % 12\% 12%
Fungsi yang tepat untuk menggambarkan tabungan Dini dalam x tahun x \text{ tahun} x tahun
1 juta jiwa 1 \text{ juta jiwa} 1 juta jiwa
Untuk jumlah penduduk 1.000.000 jiwa 1.000.000 \text{ jiwa} 1.000.000 jiwa
Jadi penduduk akan mencapai 1.000.000 jiwa 1.000.000 \text{ jiwa} 1.000.000 jiwa 20 20 20 21 tahun 21 \text{ tahun} 21 tahun
Untuk tabungan akhir sebesar Rp 6.500.000,00 \text{Rp}6.500.000{,}00 Rp 6.500.000 , 00
Jadi, tabungan Dini akan mencapai Rp 6.500.000,00 \text{Rp}6.500.000{,}00 Rp 6.500.000 , 00 10 tahun 10 \text{ tahun} 10 tahun
