Sifat Logaritma

Delapan Sifat yang Berasal dari Aturan Eksponen

Setiap sifat logaritma berasal dari aturan eksponen yang bersesuaian, sehingga setiap rumus dapat diturunkan dari aturan tersebut.

Semua sifat berikut memakai syarat:

Jika $m$ atau $b$ digunakan sebagai bilangan pokok logaritma, bilangan pokok tersebut juga harus positif dan tidak sama dengan satu.

Tiga sifat pertama langsung mengikuti $a^1=a$, $a^0=1$, dan hubungan invers antara logaritma dan eksponen.

Alasan Setiap Sifat Berlaku

Setiap sifat logaritma berasal dari sifat eksponen yang bersesuaian. Logaritma melaporkan pangkat yang menghasilkan suatu bilangan, sehingga sifat tentang eksponen berubah menjadi sifat tentang logaritma.

Sifat Perkalian

Misalkan:

Mengalikan $b$ dan $c$ berarti menjumlahkan pangkatnya:

Ambil logaritma berbasis $a$:

Sifat Pembagian

Dengan substitusi yang sama, pembagian mengurangkan pangkat:

Jadi:

Sifat Pangkat

Misalkan $y=\log_a b$, sehingga $b=a^y$. Untuk setiap $n$ real, syarat $b>0$ membuat $b^n$ terdefinisi:

Pembuktian ini langsung mencakup pangkat real. Perkalian berulang hanya dapat menjelaskan pangkat bulat positif.

Perubahan Bilangan Pokok dan Sifat Kebalikan

Misalkan $x=\log_a b$, sehingga $b=a^x$. Ambil logaritma kedua ruas dengan bilangan pokok $m$ yang sah:

Karena $x=\log_a b$, rangkaian tersebut membuktikan rumus perubahan bilangan pokok. Dengan memilih $m=b$, kita memperoleh hubungan kebalikan:

Sifat Berantai

Setelah kedua logaritma ditulis dengan bilangan pokok sah yang sama, $\log_m b$ muncul sekali pada pembilang dan sekali pada penyebut, sehingga kedua faktor dapat dicoret:

Menghitung Logaritma dari Bentuk Pangkat

Hitung $\log_5 125$.

Karena $125=5^3$, gunakan sifat pangkat dan hubungan invers:

Hasil tersebut juga menjawab pertanyaan pangkat semula: $5^3=125$.

Latihan

Empat soal di bawah ini melatih aturan hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan perubahan basis secara bersamaan. Kerjakan setiap soal sebelum membaca penyelesaian, lalu bandingkan langkahmu dengan jawabannya.

1. Sederhanakan tiga bentuk yang masing-masing membutuhkan satu aturan: $\log_9 81$, $\log_2 64-\log_2 16$, dan $\log_4(16^{10})$.

2. Jika $\log_5 4=m$ dan $\log_4 3=n$, nyatakan $\log_{12}100$ dalam $m$ dan $n$.

3. Sebuah kota memiliki $300{.}000$ penduduk dan dimodelkan tumbuh $6\%$ pada akhir setiap tahun. Menurut model dengan laju tetap ini, setelah berapa tahun penuh jumlah penduduk pertama kali mencapai sekurang-kurangnya $1{.}000{.}000$?

4. Dini menyimpan $\text{Rp}\,2{.}000{.}000$ di rekening dengan bunga majemuk tahunan $12\%$. Anggap tidak ada setoran tambahan, penarikan, biaya, atau perubahan suku bunga. Setelah berapa tahun penuh saldo pertama kali mencapai sekurang-kurangnya $\text{Rp}\,6{.}500{.}000$?

Pembahasan

1. Sederhanakan setiap bentuk.

   1. Karena $81=9^2$:

      $$\log_9 81=\log_9(9^2)$$

      $$\log_9(9^2)=2$$

   2. Gunakan sifat pembagian:

      $$\log_2 64-\log_2 16=\log_2\left(\frac{64}{16}\right)$$

      $$\log_2 4=2$$

   3. Karena $16=4^2$:

      $$\log_4(16^{10})=\log_4((4^2)^{10})$$

      $$\log_4(4^{20})=20$$

2. Gunakan bilangan pokok $4$ pada pembilang dan penyebut:

   $$\log_{12}100=\frac{\log_4 100}{\log_4 12}$$

   $$\begin{aligned} \log_4 100 &=\log_4(4\cdot25) \\ &=1+2\log_4 5 \end{aligned}$$

   $$\log_4 12=\log_4(4\cdot3)=1+n$$

   Sifat kebalikan memberi $\log_4 5=\frac1{\log_5 4}=\frac1m$. Jadi:

   $$\log_{12}100=\frac{1+\frac2m}{1+n}$$

3. Model dengan laju tetapnya adalah:

   $$P(x)=300{.}000(1{,}06)^x$$

   Selesaikan persamaan kontinu terlebih dahulu:

   $$1{.}000{.}000=300{.}000(1{,}06)^x$$

   $$x=\frac{\ln(10/3)}{\ln(1{,}06)}\approx20{,}662354$$

   Model diperbarui setelah satu tahun penuh, sehingga periksa dua bilangan bulat terdekat:

   $$P(20)\approx962{.}141<1{.}000{.}000$$

   $$P(21)\approx1{.}019{.}869>1{.}000{.}000$$

   Jumlah penduduk pertama kali mencapai target setelah $21\text{ tahun penuh}$. Hasil ini menganggap laju pertumbuhan tetap sama selama $21$ tahun. Jika lajunya berubah, jawabannya juga akan berubah.

4. Model bunga majemuk tahunannya adalah:

   $$B(x)=2{.}000{.}000(1{,}12)^x$$

   Selesaikan persamaan kontinu:

   $$6{.}500{.}000=2{.}000{.}000(1{,}12)^x$$

   $$x=\frac{\ln(3{,}25)}{\ln(1{,}12)}\approx10{,}400324$$

   Bunga baru diberikan setelah setiap tahun penuh, sehingga bandingkan tahun $10$ dan $11$:

   $$B(10)\approx6{.}211{.}696<6{.}500{.}000$$

   $$B(11)\approx6{.}957{.}100>6{.}500{.}000$$

   Saldo pertama kali mencapai target setelah $11\text{ tahun penuh}$.