Fungsi Nilai Mutlak

Nilai Mutlak sebagai Jarak dari Nol

Fungsi induk nilai mutlak memetakan setiap bilangan real ke jaraknya dari nol pada garis bilangan. Karena jarak tidak mungkin negatif, $f(x)=|x|$ selalu menghasilkan nilai nonnegatif. Transformasi dapat menggeser atau mencerminkan grafik induk ini, sehingga hasil fungsi yang sudah ditransformasi tidak selalu nonnegatif.

Definisi Fungsi Nilai Mutlak

Untuk sebarang bilangan real $x$, fungsi nilai mutlak didefinisikan sebagai:

Komponen fungsi nilai mutlak:

• Simbol $|x|$ dibaca nilai mutlak dari $x$.
• Hasil fungsi selalu non-negatif ($|x| \geq 0$)
• Fungsi ini bersifat genap: $|-x| = |x|$

Sifat Fungsi Nilai Mutlak

Sifat dasar:

Sifat ketidaksamaan segitiga:

Grafik Fungsi Nilai Mutlak

Berikut adalah visualisasi fungsi nilai mutlak dasar:

Tabel nilai fungsi $f(x) = |x|$:

Transformasi Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak dapat ditransformasi dengan berbagai cara. Peregangan atau pergeseran vertikal memindahkan seluruh bentuk V, sedangkan pencerminan atau pergeseran horizontal mengubah arah bukaannya. Setiap perubahan diterapkan pada fungsi dasar $f(x) = |x|$.

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = |x| + k$ menggeser grafik ke atas (jika $k > 0$) atau ke bawah (jika $k < 0$).

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = |x - h|$ menggeser grafik ke kanan (jika $h > 0$) atau ke kiri (jika $h < 0$).

Peregangan dan Penyusutan

Fungsi $f(x) = a|x|$ mengubah kemiringan grafik:

• Jika $|a| > 1$: grafik menjadi lebih curam
• Jika $0 < |a| < 1$: grafik menjadi lebih landai
• Jika $a < 0$: grafik juga dicerminkan terhadap sumbu $x$

Perbandingan berikut memperlihatkan perubahan tersebut pada grafik:

Bentuk Umum Fungsi Nilai Mutlak

Pada bentuk umum ini:

• $a$: faktor peregangan/penyusutan dan refleksi
• $h$: translasi horizontal
• $k$: translasi vertikal
• Titik puncak (vertex) berada di $(h, k)$

Tabel transformasi:

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan persamaan nilai mutlak:

Untuk menyelesaikan $|x| = a$ dengan $a \geq 0$:

Contoh: Selesaikan $|x - 3| = 5$

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:

Untuk $|x| < a$ dengan $a > 0$:

Untuk $|x| > a$ dengan $a > 0$:

Latihan

Setiap soal memberikan persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak, jadi pisahkan dulu menjadi dua kasus yang diizinkan nilai mutlak sebelum menyelesaikannya.

1. Tentukan nilai dari $f(x) = |2x - 6|$ untuk $x = -1, 0, 3, 5$

2. Selesaikan persamaan $|3x + 1| = 7$

3. Selesaikan pertidaksamaan $|x - 2| < 4$

4. Tentukan titik puncak dari fungsi $f(x) = 2|x - 3| + 1$

5. Jarak antara dua kota adalah $150 \text{ km}$. Jika kota $A$ berada di koordinat $-50 \text{ km}$, di mana letak kota $B$?

Pembahasan

1. Menghitung nilai fungsi untuk berbagai input:

   Substitusi setiap nilai $x$ ke dalam fungsi $f(x) = |2x - 6|$:

   $$\begin{aligned} f(-1) &= |2(-1) - 6| \\ &= |-2 - 6| \\ &= |-8| \\ &= 8 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} f(0) &= |2(0) - 6| \\ &= |0 - 6| \\ &= |-6| \\ &= 6 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} f(3) &= |2(3) - 6| \\ &= |6 - 6| \\ &= |0| \\ &= 0 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} f(5) &= |2(5) - 6| \\ &= |10 - 6| \\ &= |4| \\ &= 4 \end{aligned}$$

2. Menyelesaikan persamaan nilai mutlak:

   Untuk persamaan $|3x + 1| = 7$, kita gunakan definisi nilai mutlak yang menghasilkan dua kemungkinan:

   $$3x + 1 = 7 \quad \text{atau} \quad 3x + 1 = -7$$

   $$3x = 6 \quad \text{atau} \quad 3x = -8$$

   $$x = 2 \quad \text{atau} \quad x = -\frac{8}{3}$$

3. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:

   Untuk $|x - 2| < 4$, kita gunakan sifat bahwa $|a| < b$ ekuivalen dengan $-b < a < b$:

   $$-4 < x - 2 < 4$$

   $$-4 + 2 < x < 4 + 2$$

   $$-2 < x < 6$$

   Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $x \in (-2, 6)$.

4. Menentukan titik puncak (vertex):

   Dari fungsi $f(x) = 2|x - 3| + 1$, kita dapat mengidentifikasi parameter:

   • $a = 2$ (faktor peregangan)
   • $h = 3$ (translasi horizontal)
   • $k = 1$ (translasi vertikal)

   Titik puncak berada di $(h, k) = (3, 1)$.

5. Menghitung posisi berdasarkan jarak:

   Diketahui jarak antara kota $A$ dan $B$ adalah $150 \text{ km}$, dengan kota $A$ di koordinat $-50 \text{ km}$. Misalkan kota $B$ berada di koordinat $x_B$:

   $$|-50 - x_B| = 150$$

   $$\begin{aligned} &-50 - x_B = 150 \\ &\text{atau} \\ &-50 - x_B = -150 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &x_B = -50 - 150 = -200 \\ &\text{atau} \\ &x_B = -50 + 150 = 100 \end{aligned}$$

   Jadi kota $B$ dapat berada di koordinat $100 \text{ km}$ atau $-200 \text{ km}$.