Fungsi Trigonometri Sebarang Sudut

Trigonometri untuk Sudut di Setiap Kuadran

Saat jarum menit bergerak dari angka $12$ ke angka $6$, jarum menyapu sudut $180^\circ$. Satu putaran penuh menyapu sudut $360^\circ$.

Lingkaran Satuan

Untuk memahami fungsi trigonometri sebarang sudut, kita menggunakan lingkaran satuan yang berjari-jari $1$ dan berpusat di $O(0,0)$.

Pahami dengan detail:

• Sudut $\theta$ selalu diukur dari sumbu $x$ positif
• Arah positif adalah berlawanan arah jarum jam
• Setiap titik pada lingkaran memiliki koordinat $(x, y)$

Definisi:

Tanda Fungsi pada Setiap Kuadran

Saat titik bergerak mengelilingi lingkaran, koordinat $x$ dan $y$ dapat bernilai positif atau negatif. Tanda kedua koordinat tersebut menentukan tanda fungsi trigonometri pada setiap kuadran.

Tanda di setiap kuadran:

Tentukan tanda fungsi dari koordinat titiknya. $\sin\theta$ mengikuti tanda $y$, $\cos\theta$ mengikuti tanda $x$, dan $\tan\theta=y/x$ bernilai positif ketika $x$ dan $y$ bertanda sama.

Sudut Referensi

Untuk sudut yang sisi terminalnya tidak terletak pada sumbu koordinat, sudut referensi adalah sudut lancip tunggal $0^\circ<\alpha<90^\circ$ antara sisi terminal itu dan sumbu $x$ terdekat. Dengan sudut ini, kita dapat memakai kembali nilai sudut lancip yang sudah dikenal. Untuk sudut kuadrantal, seperti $90^\circ$ atau $180^\circ$, baca koordinatnya langsung dari lingkaran satuan.

Cara menentukan sudut referensi $\alpha$ untuk sudut nonkuadrantal $0^\circ<\theta<360^\circ$:

• Kuadran I: $\alpha = \theta$
• Kuadran II: $\alpha = 180^\circ - \theta$
• Kuadran III: $\alpha = \theta - 180^\circ$
• Kuadran IV: $\alpha = 360^\circ - \theta$

Menentukan Nilai Trigonometri

Berikut langkah sistematis untuk menentukan nilai fungsi trigonometri:

1. Sederhanakan sudut (jika lebih dari $360^\circ$ atau negatif)
2. Tentukan kuadran tempat sudut berada
3. Hitung sudut referensi
4. Gunakan nilai sudut referensi dengan tanda sesuai kuadran

Sudut di Kuadran Dua

Soal: Tentukan $\sin 120^\circ$, $\cos 120^\circ$, dan $\tan 120^\circ$

Penyelesaian:

• Sudut $120^\circ$ terletak di kuadran II (karena $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$)
• Sudut referensi: $\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
• Di kuadran II: $\sin(+), \cos(-), \tan(-)$

Menggunakan nilai sudut istimewa $60^\circ$:

Sudut di Kuadran Tiga

Soal: Tentukan nilai trigonometri untuk sudut $240^\circ$

Penyelesaian:

• Sudut $240^\circ$ terletak di kuadran III (karena $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$)
• Sudut referensi: $\alpha = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$
• Di kuadran III: $\sin(-), \cos(-), \tan(+)$

Menggunakan nilai sudut istimewa $60^\circ$:

Sudut di Kuadran Empat

Soal: Tentukan nilai trigonometri untuk sudut $300^\circ$

Penyelesaian:

• Sudut $300^\circ$ terletak di kuadran IV (karena $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$)

• Sudut referensi: $\alpha = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$

• Di kuadran IV: $\sin(-), \cos(+), \tan(-)$

Menggunakan nilai sudut istimewa $60^\circ$:

Menangani Sudut Khusus

Sudut di luar kuadran pertama bisa disederhanakan sebelum nilainya dihitung.

Sudut di luar kuadran pertama, sudut negatif, dan sudut lebih dari satu putaran semuanya disederhanakan ke sudut referensi.

Sudut Negatif

Ketika sudut negatif, kita bergerak searah jarum jam dari titik awal. Ubah dulu sudut itu menjadi sudut antara $0^\circ$ dan $360^\circ$ agar nilai yang sudah dikenal bisa dipakai. Setelah itu gunakan sifat berikut:

• $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ (fungsi ganjil)
• $\cos(-\theta) = \cos \theta$ (fungsi genap)
• $\tan(-\theta) = -\tan \theta$ (fungsi ganjil)

Contoh: $\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$

Sudut Lebih dari Satu Putaran Penuh

Sudut yang lebih besar dari $360^\circ$ memuat putaran penuh yang tidak mengubah posisi akhir. Menguranginya tidak memindahkan titik pada lingkaran satuan dan tidak mengubah nilai fungsinya.

Gunakan sifat periodisitas. Kurangi atau tambahkan kelipatan $360^\circ$ sampai sudut berada di rentang $0^\circ$ hingga $360^\circ$.

Contoh:

• Kurangi dua putaran penuh:

  $$\begin{aligned} &750^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 750^\circ - 720^\circ \\ &= 30^\circ \end{aligned}$$

• Maka $\sin 750^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Latihan

Setiap soal meminta nilai trigonometri pada sudut di luar kuadran pertama. Sederhanakan sudutnya ke sudut referensi lebih dulu, lalu pakai tanda yang tepat.

1. Tentukan nilai $\sin 315^\circ$, $\cos 315^\circ$, dan $\tan 315^\circ$.

2. Hitunglah $\sin(-60^\circ) + \cos 210^\circ - \tan(-135^\circ)$.

3. Jika $\sin \theta = \frac{3}{5}$ dan $\theta$ berada di kuadran II, tentukan $\cos \theta$ dan $\tan \theta$.

4. Sederhanakan $\sin 840^\circ \cdot \cos(-330^\circ)$.

5. Sebuah kincir angin berputar $1050^\circ$ dari posisi awal. Jika posisi awal bilah berada di sumbu $x$ positif, tentukan koordinat ujung bilah pada lingkaran satuan setelah putaran tersebut.

Kunci Jawaban

1. Untuk sudut $315^\circ$, kita perlu menentukan kuadrannya terlebih dahulu.

   Karena $270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$, sudut berada di kuadran IV.

   Sudut referensinya adalah $360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$.

   $$\sin 315^\circ = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\cos 315^\circ = +\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\tan 315^\circ = -\tan 45^\circ = -1$$

2. Hitung setiap suku secara terpisah. Untuk $\sin(-60^\circ)$, gunakan sifat fungsi ganjil.

   Untuk $\cos 210^\circ$, sudut di kuadran III dengan referensi $30^\circ$.

   Untuk $\tan(-135^\circ)$, ubah dulu ke sudut positif.

   $$\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\begin{aligned} \tan(-135^\circ) &= -\tan 135^\circ \\ &= -(-\tan 45^\circ) \\ &= 1 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \text{Hasil} &= -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \\ &= -\sqrt{3} - 1 \end{aligned}$$

3. Diketahui $\sin \theta = \frac{3}{5}$ di kuadran II.

   Gunakan identitas Pythagoras untuk mencari $\cos \theta$.

   Di kuadran II, $\cos$ bernilai negatif.

   $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

   $$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$$

   $$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

   Nilainya negatif di kuadran II:

   $$\cos\theta=-\frac45$$

   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$

4. Sederhanakan sudut-sudutnya.

   $$\begin{aligned} &840^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 120^\circ \end{aligned}$$

   Untuk $-330^\circ$, tambahkan $360^\circ$ menjadi $30^\circ$.

   $$\begin{aligned} \sin 840^\circ &= \sin 120^\circ \\ &= \sin(180^\circ - 60^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \cos(-330^\circ) &= \cos 330^\circ \\ &= \cos(360^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \sin 840^\circ \cdot \cos(-330^\circ) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}$$

5. Sudut $1050^\circ$ perlu disederhanakan terlebih dahulu.

   $$\begin{aligned} &1050^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 1050^\circ - 720^\circ \\ &= 330^\circ \end{aligned}$$

   Sudut $330^\circ$ berada di kuadran IV dengan sudut referensi $30^\circ$.

   $$x = \cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$y = \sin 330^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$$

   Koordinat ujung bilah adalah $\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$.