Pemodelan Fungsi Tangga

Nilai Tetap pada Setiap Interval

Fungsi tangga memiliki nilai konstan pada setiap interval dan dapat meloncat ketika satu interval berakhir dan interval berikutnya dimulai. Grafiknya menyerupai tangga: ruas-ruas horizontal menunjukkan nilai yang konstan, sedangkan titik ujung yang terpisah menandai diskontinuitas lompat.

Definisi Fungsi Tangga

Fungsi tangga dapat didefinisikan sebagai fungsi sepotong-sepotong (piecewise function) yang berbentuk:

Dalam definisi ini, $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n$ adalah konstanta dan $[a_i, b_i)$ adalah interval yang tidak saling tumpang tindih.

Karakteristik fungsi tangga:

• Nilai konstan pada setiap interval
• Diskontinuitas lompat di titik-titik batas interval
• Grafik berbentuk seperti tangga
• Termasuk dalam kategori fungsi sepotong-sepotong

Berbagai Jenis Fungsi Tangga

Nilai fungsi tangga hanya bergantung pada selang tempat inputnya berada, sehingga nilainya tetap di dalam satu selang dan melompat di batasnya. Fungsi lantai, fungsi langit-langit, dan fungsi Heaviside berbeda pada sisi mana nilai baru itu muncul.

Fungsi Lantai atau Floor Function

Fungsi lantai, dilambangkan dengan $\lfloor x \rfloor$, memberikan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.

Grafik menandai setiap ujung kiri yang termasuk dengan titik penuh dan setiap ujung kanan yang tidak termasuk dengan titik kosong.

Tabel nilai fungsi lantai:

Fungsi Pembulatan ke Atas atau Ceiling Function

Fungsi langit-langit, dilambangkan dengan $\lceil x \rceil$, memberikan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan $x$.

Grafik menandai setiap ujung kiri yang tidak termasuk dengan titik kosong dan setiap ujung kanan yang termasuk dengan titik penuh.

Fungsi Tangga Satuan Heaviside

Contoh berikut memakai konvensi umum untuk fungsi unit step atau fungsi Heaviside, yang dilambangkan dengan $H(x)$ atau $u(x)$:

Dalam konvensi ini, fungsi unit step bernilai $0$ untuk $x < 0$ dan $1$ untuk $x \geq 0$. Bidang lain kadang memilih $H(0)=0$ atau $H(0)=\frac12$, sehingga nilai fungsi pada titik lompatan harus selalu dinyatakan.

Sifat Fungsi Tangga

Sifat umum:

1. Domain: $\mathbb{R}$ (biasanya)
2. Range: Himpunan nilai diskrit
3. Kontinuitas: diskontinuitas lompat di titik-titik tertentu

Sifat khusus fungsi lantai dan langit-langit:

1. $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$
2. $\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil$
3. $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1 \text{ jika } x \notin \mathbb{Z}$
4. $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor \text{ jika } x \in \mathbb{Z}$

Tabel perbandingan fungsi lantai dan langit-langit:

Transformasi Fungsi Tangga

Pergeseran memindahkan semua titik lompatan sekaligus, sedangkan penskalaan mengubah jarak antarlompatan. Keduanya bekerja pada seluruh grafik, sehingga bentuk anak tangganya tetap sama. Untuk memeriksa hasilnya, bandingkan satu titik pada setiap selang sebelum dan sesudah transformasi.

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = \lfloor x \rfloor + k$ menggeser grafik fungsi lantai ke atas (jika $k > 0$) atau ke bawah (jika $k < 0$).

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = \lfloor x - h \rfloor$ menggeser grafik ke kanan (jika $h > 0$) atau ke kiri (jika $h < 0$). Sebagai contoh, $g(x) = \lfloor x - 2 \rfloor$ memindahkan setiap anak tangga dua satuan ke kanan, sehingga lompatan pertama terjadi di $x = 2$. Memasukkan nilai $h$ yang negatif memindahkan lompatan itu ke arah sebaliknya.

Latihan

Soal-soal ini menggabungkan nilai lantai dan langit-langit dengan besaran yang berubah dalam langkah bulat. Hitung bagian bilangan bulatnya lebih dulu, lalu gabungkan sukunya.

1. Tentukan nilai dari $\lfloor 3{,}7 \rfloor + \lceil -2{,}3 \rceil$

2. Sebuah toko buku memberikan diskon berdasarkan jumlah pembelian:

• $1\text{-}5$ buku: tidak ada diskon

• $6\text{-}10$ buku: diskon $10\%$

• $11\text{-}20$ buku: diskon $15\%$

• $> 20$ buku: diskon $20\%$

  Jika harga per buku $\text{Rp}\,50{.}000$, buatlah fungsi yang menyatakan total harga setelah diskon!

3. Grafik fungsi $f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$ untuk $-3 \leq x \leq 3$

4. Selesaikan persamaan $\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$

5. Sebuah lift dapat menampung maksimal $8 \text{ orang}$. Jika ada $n \text{ orang}$ yang ingin naik lift, berapa kali lift harus beroperasi?

Kunci Jawaban

1. Menghitung nilai fungsi lantai dan langit-langit:

   $$\lfloor3{,}7\rfloor=3$$

   $3$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $3{,}7$.

   $$\lceil-2{,}3\rceil=-2$$

   $-2$ adalah bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan $-2{,}3$.

   $$\lfloor 3{,}7 \rfloor + \lceil -2{,}3 \rceil = 3 + (-2) = 1$$

2. Model fungsi diskon toko buku:

   Misalkan $n\in\mathbb{N}$ adalah banyak buku yang dibeli, berupa bilangan bulat positif. Total harga setelah diskon adalah:

   $$H(n) = \begin{cases}\begin{gathered}50{.}000n\\\text{jika } 1 \leq n \leq 5\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}9\\\text{jika } 6 \leq n \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}85\\\text{jika } 11 \leq n \leq 20\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}8\\\text{jika } n > 20\end{gathered}\end{cases}$$

3. Grafik fungsi $f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$:

   Untuk setiap interval:

   • $-3 \leq x < -2: f(x) = 2(-3) - 1 = -7$
   • $-2 \leq x < -1: f(x) = 2(-2) - 1 = -5$
   • $-1 \leq x < 0: f(x) = 2(-1) - 1 = -3$
   • $0 \leq x < 1: f(x) = 2(0) - 1 = -1$
   • $1 \leq x < 2: f(x) = 2(1) - 1 = 1$
   • $2 \leq x < 3: f(x) = 2(2) - 1 = 3$
   • Pada titik ujung, $f(3)=2\lfloor3\rfloor-1=5$

   Grafik berikut menampilkan nilai fungsi pada setiap interval dan titik ujung:

   Grafik $f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$

   Grafik menunjukkan transformasi fungsi lantai dengan faktor skala $2$ dan translasi vertikal $-1$.

   KisiRotasi otomatis

4. Menyelesaikan persamaan $\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$:

   $$5 \leq 2x + 1 < 6$$

   $$4 \leq 2x < 5$$

   $$2 \leq x < 2{,}5$$

   Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\{x\mid 2 \leq x < 2{,}5\}$.

5. Menghitung jumlah operasi lift:

   Jika $n\in\mathbb{Z}_{\geq0}$ adalah banyak orang dan lift dapat menampung paling banyak $8 \text{ orang}$, maka banyak perjalanan lift yang diperlukan adalah:

   $$f(n) = \lceil \frac{n}{8} \rceil$$

   Fungsi langit-langit digunakan karena setiap sisa orang yang tidak nol memerlukan satu perjalanan tambahan. Rumus ini juga memberi $f(0)=0$ ketika tidak ada orang yang menunggu.