Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi

Menggabungkan Fungsi

Dua fungsi dapat digabungkan pada masukan yang sama. Untuk suatu $x$ , hitung $f(x)$ dan $g(x)$ , lalu jumlahkan atau kurangkan kedua keluarannya. Masukan tersebut harus menjadi anggota kedua domain, yaitu $D_f$ dan $D_g$ .

Visualisasi Penjumlahan Fungsi

Perhatikan bagaimana garis

f(x)=x

dan

g(x)=2

dijumlahkan menjadi

(f+g)(x)=x+2

Penjumlahan Dua Fungsi

Fungsi jumlah menjumlahkan dua keluaran pada masukan yang sama:

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Fungsi $(f+g)$ hanya terdefinisi saat kedua fungsi asal terdefinisi. Karena itu, domainnya adalah irisan kedua domain:

D_{f+g} = D_f \cap D_g

Artinya, $x$ harus merupakan anggota dari $D_f$ DAN juga anggota dari $D_g$ .

Contoh Penjumlahan

Misalkan kita punya dua fungsi:

$f(x) = x^2$ , dengan domain $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real).
$g(x) = \sqrt{x+2}$ , dengan domain $D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan $-2$ , karena nilai di dalam akar, $x+2$ , tidak boleh negatif).

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil penjumlahan

\begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= x^2 + \sqrt{x+2} \end{aligned}

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil penjumlahan

Kita cari irisan dari $D_f$ dan $D_g$ :

\begin{aligned} &D_{f+g} = D_f \cap D_g \\ &= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\} \end{aligned}

Jadi, fungsi hasil penjumlahannya adalah $(f+g)(x) = x^2 + \sqrt{x+2}$ dengan domain $\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ .

Pengurangan Dua Fungsi

Cara kerjanya mirip dengan penjumlahan. Untuk mengurangkan fungsi $g$ dari fungsi $f$ , kita kurangkan hasil $g(x)$ dari $f(x)$ untuk nilai $x$ yang sama. Hasilnya adalah fungsi baru $(f-g)$ .

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

Domainnya juga sama seperti penjumlahan, yaitu irisan dari domain $f$ dan domain $g$ . Kenapa? Karena lagi-lagi, nilai $x$ tersebut harus bisa diolah oleh kedua fungsi awal sebelum bisa dikurangkan.

D_{f-g} = D_f \cap D_g

Contoh Pengurangan

Kita pakai fungsi yang sama seperti contoh penjumlahan:

$f(x) = x^2$ , $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
$g(x) = \sqrt{x+2}$ , $D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil pengurangan

\begin{aligned} (f-g)(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^2 - \sqrt{x+2} \end{aligned}

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil pengurangan Domainnya sama dengan domain hasil penjumlahan karena aturan irisannya sama:

\begin{aligned} &D_{f-g} = D_f \cap D_g \\ &= \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\} \end{aligned}

Jadi, fungsi hasil pengurangannya adalah $(f-g)(x) = x^2 - \sqrt{x+2}$ dengan domain $\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ .

Latihan Soal

Diketahui fungsi $f(x) = 2x - 1$ dengan $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ dan fungsi $g(x) = x^2 + 3$ dengan $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ . Tentukan setiap hasil operasi pada soal berikut. Daerah asal hasil operasinya adalah irisan kedua domain.

Tentukan $(f+g)(x)$ dan domainnya $D_{f+g}$ .
Tentukan $(f-g)(x)$ dan domainnya $D_{f-g}$ .
Hitung nilai $(f+g)(2)$ .
Hitung nilai $(f-g)(-1)$ .

Kunci Jawaban

Mencari $(f+g)(x)$ :
$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
Mencari Domain $D_{f+g}$ :
$D_{f+g} = D_f \cap D_g$
Jadi, $(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$ dengan domain semua bilangan real.
Mencari $(f-g)(x)$ :
$(f-g)(x) = f(x) - g(x)$
Mencari Domain $D_{f-g}$ :
$D_{f-g} = D_f \cap D_g$
Jadi, $(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$ dengan domain semua bilangan real.
Menghitung $(f+g)(2)$ :

Kita gunakan hasil dari nomor 1: $(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$
$(f+g)(2) = (2)^2 + 2(2) + 2$
Menghitung $(f-g)(-1)$ :

Kita gunakan hasil dari nomor 2: $(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$
$\begin{aligned} &(f-g)(-1) \\ &= -(-1)^2 + 2(-1) - 4 \end{aligned}$