Definisi Lingkaran

Titik pada Lingkaran Berjarak Sama dari Pusat

Lingkaran adalah kumpulan semua titik pada bidang yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tetap. Titik tetap ini kita sebut pusat lingkaran, sedangkan jarak yang sama dari pusat ke setiap titik pada lingkaran disebut jari-jari.

Bayangkan kamu mengikat tali pada sebuah paku, lalu menarik tali tersebut hingga tegang dan menggambar lengkungan penuh di sekitar paku. Lengkungan yang terbentuk itulah yang kita sebut lingkaran, paku adalah pusatnya, dan panjang tali adalah jari-jarinya.

Pada visualisasi di atas, $P$ adalah pusat, sedangkan $A$, $B$, dan $C$ berada pada lingkaran. Ketiga jarak $PA$, $PB$, dan $PC$ sama dengan $r$. Kesamaan jarak itulah yang menempatkan ketiga titik pada satu lingkaran.

Lingkaran sebagai Titik Berjarak Tetap

Sekarang kita nyatakan gagasan tersebut secara tepat. Lingkaran dengan pusat $P(a, b)$ dan jari-jari $r$ adalah himpunan semua titik $(x, y)$ yang memenuhi:

Di sini, $d(P, (x,y))$ adalah jarak dari pusat $P$ ke titik $(x, y)$.

Dengan rumus jarak pada sistem koordinat Kartesius, kondisi tersebut dapat ditulis sebagai:

Persamaan Lingkaran

Dari definisi matematis tadi, kita bisa menurunkan persamaan lingkaran dengan cara mengkuadratkan kedua ruas:

Inilah persamaan baku lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$. Untuk titik $(x,y)$, bandingkan $(x-a)^2+(y-b)^2$ dengan $r^2$. Jika nilai pertama lebih kecil, titik berada di dalam lingkaran. Jika kedua nilai sama, titik berada pada lingkaran. Jika nilai pertama lebih besar, titik berada di luar lingkaran.

Untuk lingkaran pada visualisasi di atas, persamaannya adalah:

Bentuk Khusus Persamaan Lingkaran

Jika pusat lingkaran berada di titik asal $(0, 0)$, kedua suku pergeseran hilang sehingga persamaannya menjadi:

Bentuk yang lebih singkat ini dapat dipakai setiap kali pusatnya sudah diketahui berada di titik asal.

Unsur Dasar Lingkaran

Tiga unsur geometri berikut akan terus muncul dalam soal lingkaran:

1. Pusat lingkaran adalah titik tetap yang jadi patokan untuk semua titik pada lingkaran. Semua titik pada lingkaran punya jarak yang sama ke pusat ini.

2. Jari-jari adalah jarak dari pusat lingkaran ke titik mana pun pada lingkaran. Dalam satu lingkaran, semua jari-jari panjangnya sama.

3. Diameter adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melewati pusat. Panjangnya dua kali jari-jari, atau $d = 2r$.

Visualisasi berikut memperlihatkan bahwa jari-jari dan diameter melalui pusat yang sama:

Menentukan Persamaan dari Pusat dan Radius

Masukkan pusat dan jari-jari yang diketahui ke bentuk baku.

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(3, -2)$ dengan jari-jari $5$.

Penyelesaian: Masukkan pusat dan jari-jari yang diketahui ke persamaan baku:

Jadi persamaan lingkarannya adalah $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$.