Elips

Elips sebagai Kurva dengan Dua Fokus

Bentuk elips dapat muncul pada orbit planet atau pada bayangan lingkaran yang disinari dari arah miring. Definisi geometri elips memakai jarak ke dua titik tetap.

Elips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap selalu konstan. Kedua titik tetap itu disebut fokus. Definisi ini dapat diperagakan dengan dua paku, seutas tali berbentuk lingkaran tertutup, dan sebuah pensil. Ikat tali pada kedua paku, tarik hingga tegang dengan pensil, lalu gerakkan pensil satu putaran penuh. Kurva yang terbentuk adalah elips.

Pada visualisasi tersebut, $P$ terletak di elips. Jaraknya ke $F_1$, yaitu $r_1$, ditambah jaraknya ke $F_2$, yaitu $r_2$, bernilai sama untuk setiap titik pada kurva. Inilah sifat yang mendefinisikan elips.

Komponen Elips

Sebelum memakai rumus, kenali bagian-bagian yang menentukan posisi dan bentuk elips.

Komponen utama elips adalah:

1. Pusat elips adalah titik tengah elips, biasanya kita tulis dengan huruf $O$. Semua pengukuran di elips merujuk ke titik ini.

2. Fokus ($F_1$ dan $F_2$) adalah dua titik tetap yang mendefinisikan elips. Jarak antara keduanya adalah $2c$.

3. Sumbu mayor adalah garis terpanjang yang lewat pusat elips dan kedua fokus. Ujung-ujungnya adalah titik $A_1$ dan $A_2$.

4. Sumbu minor adalah garis terpendek yang lewat pusat elips dan tegak lurus sumbu mayor. Ujung-ujungnya adalah titik $B_1$ dan $B_2$.

5. Semi-mayor ($a$) adalah setengah panjang sumbu mayor, yaitu jarak dari pusat ke ujung sumbu mayor.

6. Semi-minor ($b$) adalah setengah panjang sumbu minor, yaitu jarak dari pusat ke ujung sumbu minor.

Elips yang bukan lingkaran memenuhi $a > b$. Pada kasus batas $a = b$, kedua semisumbunya sama panjang sehingga kurvanya menjadi lingkaran.

Persamaan Elips

Bentuk persamaan elips bergantung pada letak pusat dan arah sumbu mayornya. Pusatnya dibaca dari bilangan yang dikurangkan di dalam setiap kuadrat, sedangkan arahnya dibaca dari suku kuadrat yang penyebutnya lebih besar.

Pusat di Titik Asal

Kalau pusat elips ada di $O(0,0)$, ada dua kemungkinan orientasi:

Kalau sumbu mayor sejajar sumbu $x$ (horizontal), persamaan elipsnya:

Rumus ini berlaku ketika $a > b$.

Kalau sumbu mayor sejajar sumbu $y$ (vertikal), persamaan elipsnya:

Rumus ini berlaku ketika $a > b$.

Pusat Berpindah

Kalau pusat elips berpindah ke titik $(h, k)$, persamaannya jadi:

Untuk sumbu mayor horizontal:

Untuk sumbu mayor vertikal:

Visualisasi:

Hubungan Antarpanjang pada Elips

Ketiga panjang khas elips memenuhi hubungan:

Pada rumus ini, $c$ adalah jarak dari pusat ke fokus.

Eksentrisitas elips didefinisikan sebagai:

Untuk elips yang bukan lingkaran, $0 < e < 1$. Ketika $e$ mendekati $0$, bentuk elips makin mendekati lingkaran. Ketika $e$ mendekati $1$, bentuknya makin memanjang. Lingkaran sebagai kasus batas memiliki $e = 0$.

Latihan

Setiap soal memberikan persamaan elips dan meminta unsur seperti pusat, sumbu, atau fokusnya, jadi ubah dulu persamaannya ke bentuk baku sebelum membaca nilainya.

1. Tentukan persamaan elips dengan pusat di $(0,0)$, sumbu mayor sepanjang $12$ dan sumbu minor sepanjang $8$, dengan sumbu mayor horizontal.

2. Diketahui elips $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. Tentukan koordinat fokus dan eksentrisitas elips tersebut.

3. Sebuah elips memiliki pusat di $(3, -1)$, fokus di $(3, 2)$ dan $(3, -4)$, serta panjang sumbu minor $6$. Tentukan persamaan elips tersebut.

4. Tentukan persamaan elips yang melalui titik $(4, 3)$ dan $(6, 2)$ dengan pusat di $(0, 0)$ dan sumbu mayor horizontal.

Penyelesaian

1. Penyelesaian:

   Diketahui:

   • Pusat di $(0,0)$
   • Panjang sumbu mayor adalah $12$, jadi $2a = 12$, maka $a = 6$
   • Panjang sumbu minor adalah $8$, jadi $2b = 8$, maka $b = 4$
   • Sumbu mayor horizontal

   Persamaan elips dengan sumbu mayor horizontal:

   $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

   Substitusi nilai $a = 6$ dan $b = 4$:

   $$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$$

2. Penyelesaian:

   Dari persamaan $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$:

   • $a^2 = 25$, jadi $a = 5$
   • $b^2 = 16$, jadi $b = 4$

   Karena $a^2 > b^2$, sumbu mayor horizontal.

   Hitung $c$:

   $$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9$$

   $$c = 3$$

   Koordinat fokus: $(\pm 3, 0)$ yaitu $(-3, 0)$ dan $(3, 0)$

   Eksentrisitas:

   $$e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

3. Penyelesaian:

   Diketahui:

   • Pusat: $(3, -1)$
   • Fokus: $(3, 2)$ dan $(3, -4)$
   • Panjang sumbu minor adalah $6$, jadi $2b = 6$, maka $b = 3$

   Karena fokus punya koordinat $x$ yang sama ($x = 3$), sumbu mayor vertikal.

   $$\begin{aligned} &\text{Jarak antar fokus} \\ &= |2 - (-4)| \\ &= 6 \end{aligned}$$

   jadi $2c = 6$, maka $c = 3$

   Gunakan $c^2 = a^2-b^2$ untuk menghitung $a$:

   $$c^2 = a^2 - b^2$$

   $$9 = a^2 - 9$$

   $$a^2 = 18$$

   $$a = 3\sqrt{2}$$

   Persamaan elips dengan pusat $(h,k) = (3,-1)$ dan sumbu mayor vertikal:

   $$\frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{18} = 1$$

4. Penyelesaian:

   Elips dengan pusat $(0,0)$ dan sumbu mayor horizontal punya persamaan:

   $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

   Substitusi titik $(4,3)$:

   $$\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1 \quad \text{...(1)}$$

   Substitusi titik $(6,2)$:

   $$\frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \quad \text{...(2)}$$

   Misalkan $u = \frac{1}{a^2}$ dan $v = \frac{1}{b^2}$, maka:

   $$16u + 9v = 1 \quad \text{...(1)}$$

   $$36u + 4v = 1 \quad \text{...(2)}$$

   Dari persamaan (1): $v = \frac{1-16u}{9}$

   Substitusi ke persamaan (2):

   $$36u + 4 \cdot \frac{1-16u}{9} = 1$$

   $$36u + \frac{4-64u}{9} = 1$$

   $$324u + 4 - 64u = 9$$

   $$260u = 5$$

   $$u = \frac{1}{52}$$

   Maka $a^2 = 52$

   Substitusi kembali:

   $$\begin{aligned} v &= \frac{1-16 \cdot \frac{1}{52}}{9} \\ &= \frac{1-\frac{16}{52}}{9} \\ &= \frac{\frac{36}{52}}{9} \\ &= \frac{4}{52} \\ &= \frac{1}{13} \end{aligned}$$

   Maka $b^2 = 13$

   Persamaan elips: $\frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13} = 1$