Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Banyaknya Titik Potong Garis dan Lingkaran

Gambarlah sebuah lingkaran dan garis lurus pada bidang yang sama. Tepat ada tiga kemungkinan kedudukan.

Garis itu dapat memotong lingkaran di dua titik, menyinggung di satu titik, atau tidak bertemu lingkaran sama sekali. Letakkan pensil di atas sebuah cincin. Bergantung pada posisinya, pensil dapat melintasi cincin, hanya menyentuh tepinya, atau berada sepenuhnya di luar.

Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran menghasilkan persamaan kuadrat. Dua solusi real berarti ada dua titik potong, satu solusi kembar berarti garis menyinggung lingkaran, dan tidak ada solusi real berarti garis tidak bertemu lingkaran. Pemeriksaan yang sama dapat memodelkan apakah jalan yang direncanakan melintasi kawasan lindung berbentuk lingkaran atau apakah suatu lintasan mencapai zona tertentu.

Tiga Kemungkinan Posisi

Visualisasi berikut membandingkan ketiga kasus sekaligus:

Garis paling atas tidak memiliki titik persekutuan dengan lingkaran. Garis tengah menyentuhnya sekali. Garis paling bawah melewati lingkaran sehingga mempunyai dua titik potong.

1. Garis potong melewati bagian dalam lingkaran dan bertemu kelilingnya di dua titik berbeda.

2. Garis singgung menyentuh keliling lingkaran tepat di satu titik.

3. Garis di luar lingkaran berada sepenuhnya di luar sehingga tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.

Metode Diskriminan

Untuk menentukan jumlah titik potong secara aljabar, substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran. Substitusi tersebut menghasilkan persamaan kuadrat. Tanda diskriminan menentukan apakah garis dan lingkaran memiliki dua, satu, atau tidak ada titik potong real.

Misalkan kita punya garis dengan persamaan $y = mx + c$ dan lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.

Ganti setiap $y$ pada persamaan lingkaran dengan $mx+c$:

Hasil substitusi ini membentuk persamaan kuadrat dalam bentuk $Ax^2 + Bx + C = 0$. Huruf kapital membedakan koefisien tersebut dari konstanta $c$ pada persamaan garis:

Sekarang hitung diskriminan dari koefisien A, B, C di atas:

Arti Nilai Diskriminan

Setiap solusi real untuk $x$ mewakili satu titik potong. Karena itu, diskriminan menghasilkan tiga kemungkinan:

1. Diskriminan positif ($\Delta > 0$) artinya persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda. Dalam konteks geometri, ini berarti garis memotong lingkaran di dua titik.

2. Diskriminan nol ($\Delta = 0$) artinya persamaan kuadrat memiliki satu akar real (akar kembar). Geometrinya, garis menyinggung lingkaran di satu titik.

3. Diskriminan negatif ($\Delta < 0$) artinya persamaan kuadrat tidak memiliki akar real. Secara geometri, garis tidak berpotongan dengan lingkaran.

Menentukan Garis Potong dengan Diskriminan

Tentukan kedudukan garis $y=2x-1$ terhadap lingkaran $x^2+y^2-4x+2y-4=0$.

Kita substitusikan $y = 2x - 1$ ke dalam persamaan lingkaran:

Dari persamaan kuadrat $5x^2 - 4x - 5 = 0$, kita identifikasi koefisiennya: $a = 5$, $b = -4$, dan $c = -5$.

Hitung diskriminan:

Karena $\Delta = 116 > 0$, maka garis $y = 2x - 1$ memotong lingkaran di dua titik.

Tanda diskriminan menentukan jumlah titik potong. Besarnya diskriminan bukan jarak geometris garis dari kondisi menyinggung karena mengalikan persamaan dengan suatu faktor juga mengubah nilai diskriminan.

Kasus Lingkaran Standar

Pada lingkaran yang berpusat di titik asal, $x^2 + y^2 = r^2$, kedua koordinat pusat bernilai nol. Substitusi $y=mx+c$ tidak menghasilkan suku pergeseran horizontal atau vertikal.

Substitusikan garis ke lingkaran:

Diskriminan untuk kasus ini adalah:

Setelah disederhanakan:

Kesimpulannya sama seperti sebelumnya: $\Delta > 0$ berarti garis memotong lingkaran di dua titik, $\Delta = 0$ berarti menyinggung di satu titik, dan $\Delta < 0$ berarti tidak berpotongan.

Latihan dengan Pembahasan Lengkap

Setiap soal memberikan garis dan lingkaran, dan tugasnya menentukan apakah keduanya berpotongan di dua titik, bersinggungan, atau tidak berpotongan. Substitusikan garisnya ke persamaan lingkaran lalu baca diskriminannya.

1. Tentukan kedudukan garis $y = x + 3$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 8$.

2. Selidiki kedudukan garis $y = -2x + 5$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$.

3. Garis $2x + y - 4 = 0$ dan lingkaran $x^2 + y^2 = 5$. Bagaimana kedudukan keduanya?

4. Tentukan nilai $k$ agar garis $y = x + k$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 = 18$.

Pembahasan Lengkap

1. Penyelesaian:

   Substitusi $y = x + 3$ ke $x^2 + y^2 = 8$:

   $$x^2 + (x + 3)^2 = 8$$

   $$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 8$$

   $$2x^2 + 6x + 1 = 0$$

   Diskriminan: $\Delta = 6^2 - 4(2)(1) = 36 - 8 = 28$

   Karena $\Delta = 28 > 0$, garis memotong lingkaran di dua titik.

2. Penyelesaian:

   Substitusi $y = -2x + 5$ ke $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$:

   $$\begin{aligned} &x^2 + (-2x + 5)^2 \\ &\quad{}- 6x + 4(-2x + 5) + 9 = 0 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &x^2 + 4x^2 - 20x + 25 \\ &\quad{}- 6x - 8x + 20 + 9 = 0 \end{aligned}$$

   $$5x^2 - 34x + 54 = 0$$

   Diskriminan: $\Delta = (-34)^2 - 4(5)(54) = 1156 - 1080 = 76$

   Karena $\Delta = 76 > 0$, garis memotong lingkaran di dua titik.

3. Penyelesaian:

   Susun ulang garis $2x + y - 4 = 0$ terhadap $y$ sehingga diperoleh $y = -2x + 4$.

   Substitusi ke $x^2 + y^2 = 5$:

   $$x^2 + (-2x + 4)^2 = 5$$

   $$x^2 + 4x^2 - 16x + 16 = 5$$

   $$5x^2 - 16x + 11 = 0$$

   Diskriminan: $\Delta = (-16)^2 - 4(5)(11) = 256 - 220 = 36$

   Karena $\Delta = 36 > 0$, garis memotong lingkaran di dua titik.

4. Penyelesaian:

   Agar garis menyinggung lingkaran, diskriminan harus sama dengan nol.

   Substitusi $y = x + k$ ke $x^2 + y^2 = 18$:

   $$x^2 + (x + k)^2 = 18$$

   $$x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = 18$$

   $$2x^2 + 2kx + (k^2 - 18) = 0$$

   Diskriminan: $\Delta = (2k)^2 - 4(2)(k^2 - 18) = 4k^2 - 8k^2 + 144 = -4k^2 + 144$

   Supaya $\Delta = 0$:

   $$-4k^2 + 144 = 0$$

   $$4k^2 = 144$$

   $$k^2 = 36$$

   $$k = \pm 6$$

   Jadi nilai $k = 6$ atau $k = -6$.