Kedudukan Suatu Titik Terhadap Lingkaran

Memeriksa Jangkauan dengan Model Lingkaran

Untuk sebuah lingkaran dan satu titik, hanya ada tiga kemungkinan: titik berada di dalam lingkaran, tepat pada kelilingnya, atau di luar lingkaran.

Perbandingan yang sama muncul pada model jangkauan sederhana, misalnya ketika kita memeriksa apakah suatu lokasi berada dalam jangkauan sinyal atau radar yang dimodelkan sebagai lingkaran. Persamaan lingkaran dan koordinat titik kemudian menentukan posisi lokasi tersebut secara tepat.

Konsep Kuasa Titik

Untuk menentukan kedudukan titik, kita memakai kuasa titik terhadap lingkaran. Besaran aljabar ini dapat bernilai positif, nol, atau negatif. Jarak biasa selalu bernilai nol atau positif. Untuk lingkaran berpusat di $(a,b)$ dengan jari-jari $r$:

Untuk titik $A(x_0, y_0)$ dan lingkaran umum $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, kuasa titik $A$ adalah:

Satu kali substitusi menghasilkan nilai $K_A$. Tanda K_A menentukan kedudukan titik:

Tiga Kemungkinan Posisi Titik

Berdasarkan nilai kuasa titik, ada tiga kemungkinan posisi:

1. Titik berada di dalam lingkaran ketika $K_A < 0$.

2. Titik berada pada lingkaran ketika $K_A = 0$.

3. Titik berada di luar lingkaran ketika $K_A > 0$.

Ketiga kemungkinan tersebut tampak pada grafik berikut:

Cara Menentukan Kedudukan Titik

Identifikasi persamaan lingkaran dan koordinat titik, lalu substitusikan koordinat titik ke rumus kuasa titik untuk memperoleh $K_A$.

Tanda $K_A$ menentukan posisi titik. Jika $K_A<0$, titik berada di dalam lingkaran. Jika $K_A=0$, titik berada pada lingkaran. Jika $K_A>0$, titik berada di luar lingkaran.

Untuk titik $A(1, -2)$ dan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$, hitung dahulu kuadrat jarak ke pusat. Setelah itu, kurangi kuadrat jarak tersebut dengan $r^2$:

Karena $K_A = -20 < 0$, titik $A(1, -2)$ berada di dalam lingkaran.

Untuk $x^2 + y^2 = r^2$, membandingkan $d_A^2$ dengan $r^2$ setara dengan memeriksa tanda $K_A=d_A^2-r^2$.

Aplikasi untuk Bentuk Umum

Untuk lingkaran berbentuk umum $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, hitung $K_A=x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F$. Tanda $K_A$ menentukan apakah titik berada di dalam, pada, atau di luar lingkaran.

Contohnya, untuk titik $A(1, -2)$ dan lingkaran $x^2 + y^2 - 8x - 2y - 8 = 0$:

Karena $K_A = -7 < 0$, maka titik $A(1, -2)$ berada di dalam lingkaran.

Latihan

Setiap soal memberikan sebuah titik dan sebuah lingkaran, dan jawabannya adalah apakah titik itu berada di dalam, pada, atau di luar lingkaran. Bandingkan jarak titik ke pusat dengan jari-jarinya.

1. Tentukan kedudukan titik $A(3, 4)$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 16$.

2. Selidiki apakah titik $B(6, -8)$ berada pada lingkaran $x^2 + y^2 = 100$.

3. Tentukan kedudukan titik $C(2, 1)$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

4. Sebuah lingkaran memiliki persamaan $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$. Tentukan kedudukan titik $D(7, 2)$ terhadap lingkaran tersebut.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Substitusi koordinat titik $A(3, 4)$ ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 16$:

   $$d_A^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$

   $$K_A = d_A^2-r^2 = 25-16 = 9$$

   Karena $K_A = 9 > 0$, titik $A(3, 4)$ berada di luar lingkaran.

2. Penyelesaian:

   Substitusi koordinat titik $B(6, -8)$ ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 100$:

   $$d_B^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$$

   $$K_B = d_B^2-r^2 = 100-100 = 0$$

   Karena $K_B = 0$, titik $B(6, -8)$ berada tepat pada lingkaran.

3. Penyelesaian:

   Substitusi koordinat titik $C(2, 1)$ ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$:

   $$K_C = 2^2 + 1^2 - 4(2) + 6(1) - 12$$

   $$K_C = 4 + 1 - 8 + 6 - 12 = -9$$

   Karena $K_C = -9 < 0$, maka titik $C(2, 1)$ berada di dalam lingkaran.

4. Penyelesaian:

   Untuk lingkaran $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ dengan pusat $(3, -2)$ dan jari-jari $r = 5$.

   Substitusi titik $D(7, 2)$:

   $$\begin{aligned} d_D^2 &= (7-3)^2 + (2-(-2))^2 \\ &= 4^2 + 4^2 \end{aligned}$$

   $$d_D^2 = 16 + 16 = 32$$

   $$K_D = d_D^2-r^2 = 32-25 = 7$$

   Karena $K_D = 7 > 0$, titik $D(7, 2)$ berada di luar lingkaran.