Persamaan Lingkaran

Pusat dan Jari-jari dalam Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran menggambarkan setiap titik pada lingkaran di bidang koordinat. Bayangkan menggambar dengan jangka pada kertas berpetak: jarum jangka menetapkan pusat, bukaannya menetapkan jari-jari, dan pensilnya menelusuri tepat semua titik yang memenuhi persamaan.

Persamaan lingkaran memuat koordinat pusat dan nilai jari-jari, sehingga keduanya dapat ditentukan tanpa menggambar lingkaran terlebih dahulu.

Lingkaran Berpusat di Titik Asal

Kita mulai dari kasus paling sederhana, yaitu lingkaran yang berpusat di titik asal $O(0,0)$.

Kalau kita punya lingkaran dengan pusat di $O(0,0)$ dan jari-jari $r$, maka setiap titik $(x,y)$ pada lingkaran tersebut punya jarak yang sama dari pusat, yaitu sebesar $r$.

Pakai rumus jarak, kita dapatkan:

Jika kedua ruas dikuadratkan, kita memperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di titik asal:

Grafik berikut memperlihatkan batasan jari-jari tersebut.

Untuk lingkaran di atas, persamaannya adalah $x^2 + y^2 = 9$ karena jari-jarinya $3$, jadi $r^2 = 3^2 = 9$.

Lingkaran dengan Pusat Sembarang

Untuk lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$, misalkan jari-jarinya $r$.

Setiap titik $(x,y)$ pada lingkaran ini harus punya jarak yang sama dengan $r$ dari pusat $P(a,b)$. Pakai rumus jarak:

Setelah dikuadratkan, kita memperoleh persamaan baku lingkaran dengan pusat sembarang:

Pergeseran pusatnya terlihat pada grafik berikut.

Persamaan lingkaran di atas adalah $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 4$ karena pusatnya $P(2,-1)$ dan jari-jarinya $2$, jadi $r^2 = 2^2 = 4$.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Kadang persamaan lingkaran sudah dikembangkan menjadi bentuk umum. Misalnya, kita dapat mengembangkan $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ sebagai berikut:

Bentuk terakhir ini disebut bentuk umum persamaan lingkaran:

Persamaan dalam bentuk umum dapat diubah kembali ke bentuk baku dengan teknik melengkapkan kuadrat sempurna.

Tidak semua persamaan berbentuk $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ menghasilkan lingkaran nyata. Syaratnya adalah $D^2 + E^2 - 4F > 0$. Jika nilainya nol, lokusnya hanya satu titik. Jika nilainya negatif, tidak ada titik nyata yang memenuhi persamaan.

Langkah melengkapkan kuadrat menunjukkan asal rumus pusat dan jari-jari:

Menentukan Pusat dan Radius

Dari bentuk baku $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, kita langsung dapat membaca:

Pusat lingkarannya di $(a,b)$ dan jari-jarinya $r$ (yang didapat dari $r = \sqrt{r^2}$).

Sementara itu, dari bentuk umum $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, kita dapat menentukan:

Latihan

Setiap soal memberikan pusat dan jari-jari, tiga titik, atau persamaan umum, lalu meminta persamaan lingkarannya, jadi pilih bentuk yang sesuai dengan informasi yang diberikan. Informasi itulah yang menentukan pilihan bentuk, karena bentuk baku langsung memakai pusat dan jari-jari sementara bentuk umum harus diselesaikan lebih dulu.

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(3,-2)$ dengan jari-jari $5$.

2. Diketahui lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.

3. Sebuah lingkaran melalui titik $(6,-8)$ dan berpusat di $O(0,0)$. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

4. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter dengan ujung-ujung di $A(1,3)$ dan $B(7,-1)$.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Diketahui pusat $(a,b) = (3,-2)$ dan jari-jari $r = 5$.

   Pakai rumus persamaan lingkaran:

   $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

   $$(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2$$

   $$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$$

   Jadi persamaan lingkarannya adalah $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$.

2. Penyelesaian:

   Dari persamaan $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$, kita identifikasi koefisien:

   $D = -6$, $E = 4$, $F = -12$

   $$\begin{aligned} &\text{Pusat: } \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) \\ &= \left(-\frac{(-6)}{2}, -\frac{4}{2}\right) \\ &= (3, -2) \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} r &= \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 4(-12)} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} r &= \frac{1}{2}\sqrt{36 + 16 + 48} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{100} \\ &= \frac{1}{2} \times 10 \\ &= 5 \end{aligned}$$

   Jadi pusat lingkaran di $(3,-2)$ dengan jari-jari $5$.

3. Penyelesaian:

   Karena lingkaran berpusat di $O(0,0)$ dan melalui titik $(6,-8)$, maka jari-jarinya adalah jarak dari pusat ke titik tersebut.

   $$\begin{aligned} r &= \sqrt{(6-0)^2 + (-8-0)^2} \\ &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}$$

   Persamaan lingkarannya: $x^2 + y^2 = r^2 = 10^2 = 100$

4. Penyelesaian:

   Pusat lingkaran adalah titik tengah dari diameter $AB$:

   $$\begin{aligned} &\text{Pusat} \\ &= \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \\ &= \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}\right) \\ &= (4, 1) \end{aligned}$$

   Jari-jari adalah setengah panjang diameter:

   $$\begin{aligned} &\text{Panjang } AB \\ &= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \\ &= \sqrt{(7-1)^2 + (-1-3)^2} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &= \sqrt{6^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{36 + 16} \\ &= \sqrt{52} \\ &= \sqrt{4 \times 13} \\ &= 2\sqrt{13} \end{aligned}$$

   $$r = \frac{\text{diameter}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$$

   Persamaan lingkarannya: $(x-4)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$