Definisi Integral Tak Tentu

Menentukan Fungsi Posisi dari Kecepatan

Diferensiasi mengubah fungsi posisi $s(t)$ menjadi kecepatan $v(t)=s'(t)$. Antidiferensiasi melakukan proses kebalikan. Dari $v(t)$, kita mencari semua fungsi posisi yang turunannya sama dengan $v(t)$. Posisi awal tetap diperlukan untuk menentukan satu fungsi posisi tertentu.

Peran Konstanta Integrasi

Bandingkan fungsi-fungsi berikut beserta turunannya.

Keempat fungsi $F(x)$ memiliki turunan yang sama, yaitu $f(x) = 4x$. Penyebabnya, turunan konstanta seperti $1$, $5$, atau $-10$ selalu nol.

Turunan tidak memuat nilai konstanta dari fungsi asal. Karena itu, turunan saja tidak dapat menunjukkan apakah fungsi asal memiliki konstanta $1$, $5$, $-1000$, atau nilai lain. Simbol $C$ mewakili semua nilai konstanta yang mungkin. Hasil integral tak tentu pun mencakup semua antiturunan yang hanya berbeda pada nilai konstanta.

Notasi Integral Tak Tentu

Notasi berikut menunjukkan integran, variabel integrasi, antiturunan, dan konstanta integrasi:

Setiap bagian memiliki peran khusus:

• $\int$ adalah simbol integral. Bentuk simbol berasal dari huruf S yang memanjang untuk kata Latin summa, yang berarti jumlah.
• $f(x)$ adalah fungsi yang akan kita integralkan, disebut integran.
• $dx$ disebut diferensial dari $x$. Tanda ini menunjukkan bahwa integrasi dilakukan terhadap variabel $x$. Tanpanya, ekspresi integral belum lengkap.
• $F(x) + C$ adalah integral tak tentu dari $f(x)$. Pada bentuk ini, $F(x)$ adalah antiturunan dan $C$ adalah konstanta integrasi.

Hubungan dasarnya adalah:

Jika turunan $F(x)$ adalah $f(x)$, maka integral tak tentu dari $f(x)$ memuat semua fungsi yang berbentuk $F(x) + C$.