Turunan sebagai Laju Perubahan

Kemiringan Kurva pada Satu Titik

Bayangkan sepeda melaju di jalan berbukit. Ada bagian yang menanjak tajam, ada pula yang hampir datar. Kemiringan jalan berubah dari satu titik ke titik berikutnya. Kurva pada grafik fungsi juga dapat berubah dengan cara serupa.

Garis lurus memiliki kemiringan yang sama di setiap titik, sedangkan kemiringan kurva dapat terus berubah. Turunan menyatakan kemiringan atau laju perubahan kurva pada satu titik tertentu.

Gradien Garis Sekan

Kita mulai dengan garis sekan, yaitu garis lurus yang melalui dua titik berbeda pada sebuah kurva.

Misalkan kurva tersebut menyatakan $y = f(x)$ . Pilih dua titik berbeda, $P(x, f(x))$ dan $Q(x+\Delta x, f(x+\Delta x))$ , pada kurva. Di sini, $\Delta x$ (dibaca "delta x") adalah perubahan mendatar dari $P$ ke $Q$ , sehingga $\Delta x \ne 0$ .

Gradien garis sekan yang melalui $P$ dan $Q$ adalah:

\begin{aligned} m_{\text{sekan}} &= \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &= \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{aligned}

Gradien ini merupakan laju perubahan rata-rata fungsi $f(x)$ antara $P$ dan $Q$ .

Visualisasi Garis Sekan dan Garis Singgung

Garis sekan menghubungkan dua titik berbeda pada kurva

y=x^2

, sedangkan gradien garis singgung sama dengan gradien lokal kurva di

P

. Pada contoh ini, garis singgung bertemu parabola di

P

. Secara umum, garis singgung dapat berpotongan lagi dengan kurva yang sama di tempat lain.

Dari Garis Sekan ke Garis Singgung

Selanjutnya, geser $Q$ semakin dekat ke $P$ . Jarak mendatar $\Delta x$ semakin kecil dan mendekati nol.

Ketika $\Delta x \to 0$ (dibaca "delta x mendekati nol"), garis-garis sekan tersebut mendekati garis singgung di $P$ . Garis singgung menunjukkan arah lokal kurva pada titik itu. Garis ini tidak harus hanya berpotongan satu kali dengan seluruh kurva. Yang penting adalah perilakunya di sekitar $P$ .

Gradien garis singgung merupakan laju perubahan sesaat kurva di $P$ . Nilainya diperoleh dengan limit:

\begin{aligned} &m_{\text{singgung}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{aligned}

Definisi Turunan

Limit gradien garis sekan saat $\Delta x$ mendekati nol disebut turunan.

Turunan dari sebuah fungsi $f(x)$ , yang dinotasikan sebagai $f'(x)$ (dibaca "f aksen x"), didefinisikan sebagai:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Proses mencari turunan disebut diferensiasi.

Turunan $f'(x)$ adalah fungsi baru. Pada setiap nilai $x$ tempat limit tersebut ada, turunannya memberikan laju perubahan sesaat dari $f(x)$ , yang juga merupakan gradien garis singgung di titik itu. Kalkulus diferensial menggunakan fungsi turunan untuk menganalisis kedua besaran tersebut.