Integral Tentu

Dari Perkiraan Menuju Luas Pasti

Pada materi Jumlahan Riemann, kita menghampiri luas di bawah kurva tidak negatif dengan persegi panjang. Ketika partisi makin halus, jumlahan Riemann yang bersesuaian mendekati satu nilai yang sama untuk fungsi yang dapat diintegralkan.

Untuk partisi berlebar sama, biarkan jumlah subinterval $n$ bertambah tanpa batas. Lebarnya, $\Delta x$ , akan mendekati nol. Agar definisi ini berlaku, lebar subinterval terbesar juga harus mendekati nol. Jika jumlahan Riemann memiliki limit, limit itulah integral tentu.

Notasi dan Makna Integral Tentu

Integral tentu mencatat akumulasi pada limit tersebut. Secara matematis, integral tentu didefinisikan sebagai limit jumlahan Riemann, asalkan limitnya ada.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x

Notasi ini memiliki arti spesifik:

$\int_{a}^{b}$ : Simbol ini memiliki batas bawah $a$ dan batas atas $b$ . Kedua batas menentukan interval perhitungan integral.
$f(x)$ : Ini adalah integran. Nilai $f(x)$ pada seluruh interval $[a,b]$ menentukan akumulasi bertanda.
$dx$ : Sama seperti pada integral tak tentu, ini menandakan bahwa kita mengintegrasikan terhadap variabel $x$ .

Integral tak tentu memuat semua fungsi berbentuk $F(x) + C$ . Integral tentu menghasilkan sebuah angka tunggal yang menyatakan akumulasi bertanda dari $x=a$ hingga $x=b$ . Nilai tersebut sama dengan luas geometris jika fungsi yang diintegralkan tidak negatif pada seluruh interval.

Menghitung Integral Tentu dengan Limit

Soal: Tentukan nilai dari $\int_{0}^{7} x \, dx$ .

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan integral pada soal ini, kita akan mengubah integral itu kembali ke bentuk limit dari Jumlahan Riemann.

Langkah 1: Tentukan komponen Jumlahan Riemann

Dari soal $\int_{0}^{7} x \, dx$ , kita tahu:

Fungsi: $f(x) = x$
Interval: $[a, b] = [0, 7]$

Maka, lebar setiap subinterval adalah:

\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{7-0}{n} = \frac{7}{n}

Kita akan menggunakan titik sampel ujung kanan ( $x_i$ ) untuk setiap partisi:

x_i = a + i \Delta x = 0 + i \left(\frac{7}{n}\right) = \frac{7i}{n}

Langkah 2: Susun Jumlahan Riemann

Tinggi setiap persegi panjang adalah $f(x_i)$ , jadi:

f(x_i) = x_i = \frac{7i}{n}

Sekarang, kita masukkan ke dalam formula Jumlahan Riemann:

\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x &= \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{7i}{n}\right) \left(\frac{7}{n}\right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \frac{49i}{n^2} \end{aligned}

Langkah 3: Sederhanakan dan gunakan properti notasi sigma

Kita bisa mengeluarkan konstanta dari sigma, karena $n$ dianggap konstan dalam penjumlahan dari $i=1$ sampai $n$ .

\frac{49}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i

Selanjutnya, ganti $\sum_{i=1}^{n} i$ dengan $\frac{n(n+1)}{2}$ , lalu sederhanakan sampai suku yang bergantung pada $n$ terpisah.

\frac{49}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}

Penyederhanaan tersebut menghasilkan faktor konstan yang dikalikan dengan $1+\frac{1}{n}$ . Limit sisanya dapat dihitung dari $\frac{1}{n}\to0$ .

Untuk menghitung limit jumlah Riemann, kita sering memerlukan beberapa rumus jumlah deret yang umum:

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

Langkah 4: Ambil Limitnya

Terakhir, kita ambil limit saat $n \to \infty$ . Pada limit ini, $\frac{1}{n}$ mendekati nol.

\int_{0}^{7} x \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{49}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)

Karena $f(x) = x$ tidak negatif dari $x=0$ sampai $x=7$ , integral tentu ini juga merupakan luas geometris: $\frac{49}{2}$ atau $24{,}5$ satuan luas. Limit tersebut mengubah hampiran persegi panjang menjadi nilai eksak.