Pada materi Jumlahan Riemann, kita telah belajar bagaimana memperkirakan luas di bawah kurva dengan membaginya menjadi banyak persegi panjang. Kita juga tahu bahwa semakin banyak persegi panjang yang kita gunakan (nilai n semakin besar), maka perkiraan luas kita akan semakin akurat.
Sekarang, bayangkan jika kita bisa membagi area tersebut menjadi persegi panjang yang tak terhingga banyaknya. Lebar setiap persegi panjang (Δx) akan menjadi sangat kecil, mendekati nol. Proses mengambil limit saat jumlah partisi n mendekati tak hingga inilah yang mengubah Jumlahan Riemann dari sekadar perkiraan menjadi sebuah perhitungan yang eksak. Konsep inilah yang melahirkan .
Integral tentu adalah cara formal untuk menuliskan "jumlah tak hingga" dari luas persegi panjang yang sangat kecil tersebut. Secara matematis, integral tentu didefinisikan sebagai limit dari Jumlahan Riemann.
∫abf(x)dx=n→∞limi=1∑nf(xi)Δx
Notasi ini memiliki arti spesifik:
∫ab: Ini adalah simbol integral dengan batas bawaha dan batas atasb. Angka-angka ini mendefinisikan interval di mana kita menghitung luas.
f(x): Ini adalah integran, yaitu fungsi yang kurvanya sedang kita hitung luasnya.
dx: Sama seperti pada integral tak tentu, ini menandakan bahwa kita mengintegrasikan terhadap variabel x.
Berbeda dengan integral tak tentu yang hasilnya adalah sebuah fungsi (F(x)+C), hasil dari integral tentu adalah sebuah angka tunggal yang merepresentasikan luas bersih di bawah kurva dari x=a hingga x=b.
Mari kita coba menghitung nilai pasti dari integral tentu menggunakan definisi limitnya, seperti pada contoh referensi.
Soal: Tentukan nilai dari ∫07xdx.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan ini, kita akan mengubahnya kembali ke bentuk limit dari Jumlahan Riemann.
Langkah1: Tentukan komponen Jumlahan Riemann
Dari soal ∫07xdx, kita tahu:
Fungsi: f(x)=x
Interval: [a,b]=[0,7]
Maka, lebar setiap subinterval adalah:
Δx=nb−a=n7−0=n7
Kita akan menggunakan titik sampel ujung kanan (xi) untuk setiap partisi:
xi=a+iΔx=0+i(n7)=n7i
Langkah2: Susun Jumlahan Riemann
Tinggi setiap persegi panjang adalah f(xi), jadi:
f(xi)=xi=n7i
Sekarang, kita masukkan ke dalam formula Jumlahan Riemann:
i=1∑nf(xi)Δx=i=1∑n(n7i)(n7)=i=1∑nn249i
Langkah3: Sederhanakan dan gunakan properti notasi sigma
Kita bisa mengeluarkan konstanta dari sigma, karena n dianggap konstan dalam penjumlahan dari i=1 sampai n.
n249i=1∑ni
Selanjutnya, kita ganti ∑i=1ni dengan rumus jumlah deretnya, yaitu 2n(n+1), lalu kita sederhanakan ekspresinya untuk mempermudah perhitungan limit.
n249⋅2n(n+1)
=2n249n(n+1)
=2n49(n+1)
=249(nn+1)=249(1+n1)
Langkah-langkah penyederhanaan di atas memastikan kita mendapatkan bentuk yang paling mudah untuk dihitung limitnya. Pertama kita kanselasi n dari pembilang dan penyebut, kemudian kita pisahkan pecahannya.
Untuk menyelesaikan limit dari Jumlahan Riemann, seringkali kita memerlukan beberapa rumus jumlah deret umum:
∑i=1ni=2n(n+1)
∑i=1ni2=6n(n+1)(2n+1)
∑i=1ni3=(2n(n+1))2
Langkah4: Ambil Limitnya
Terakhir, kita ambil limit saat n→∞ untuk menemukan luas pastinya.
∫07xdx=n→∞lim249(1+n1)
=249(1+0)
=249
Jadi, luas pasti daerah di bawah kurva f(x)=x dari x=0 sampai x=7 adalah 249 atau 24.5. Ini adalah contoh bagaimana integral tentu memberikan jawaban yang eksak, bukan lagi perkiraan.
