For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Rumus luas persegi panjang dan segitiga tidak langsung berlaku pada daerah yang batasnya melengkung.
Integral tentu menangani daerah tersebut dengan menjumlahkan luas strip yang makin sempit. Pada jumlahan Riemann, interval dibagi menjadi beberapa bagian, setiap strip dihampiri dengan persegi panjang, lalu limit jumlah luasnya dihitung.
Misalkan fungsi membatasi daerah dari sampai . Kita membagi menjadi subinterval dengan lebar .
Gunakan tiga langkah berikut untuk menghitung luas:
Langkah pertama adalah menentukan batas bawah dan batas atas integrasi. Batas ini menunjukkan rentang nilai yang membatasi daerah yang ingin kita hitung luasnya.
Integran menyatakan tinggi vertikal daerah. Jika pada seluruh , luasnya adalah . Jika grafik memotong sumbu, pecah interval pada titik nolnya atau integralkan agar setiap bagian menyumbang luas positif.
Setelah menentukan batas dan fungsi, kita dapat mengevaluasi integral menggunakan teorema dasar kalkulus:
Pada rumus ini, adalah antiturunan dari .
Perhatikan daerah yang dibatasi oleh , sumbu , , dan .
Pada , faktorkan fungsi menjadi . Setiap titik pada interval memenuhi dan , sehingga di seluruh interval. Nilai ujung dan konsisten dengan analisis tanda ini.
Luas geometris tidak bernilai negatif. Karena fungsi negatif di seluruh interval ini, nilai mutlaknya sama dengan lawan fungsinya, sehingga:
Sekarang evaluasi integral tentunya:
Jadi, luas daerah tersebut adalah satuan luas.
Pada contoh kedua, hitung luas di bawah kurva dari hingga .
Bentuk mengarahkan kita pada substitusi karena faktor sebanding dengan turunan ekspresi di dalam akar.
Tetapkan . Maka , sehingga .
Batas integrasi harus memakai variabel yang sama dengan integran: menghasilkan , sedangkan menghasilkan .
Sekarang integral kita menjadi:
Perhatikan bahwa dan .
Saat menggunakan substitusi dalam integral tentu, jangan lupa mengubah batas integrasi sesuai dengan variabel substitusi yang baru.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu , dan garis serta !
Tentukan luas daerah di bawah kurva dari hingga !
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu !
Soal pertama dengan fungsi
Karena fungsi ini selalu positif, kita langsung dapat menyusun integral:
Setelah kita integralkan dan evaluasi, diperoleh:
Jadi, luas daerah tersebut adalah satuan luas.
Soal kedua dengan fungsi rasional
Antiturunan yang digunakan adalah karena turunannya sama dengan .
Soal ketiga dengan parabola
Pertama, kita cari dulu di mana kurva memotong sumbu :
Diterbitkan: . Diperbarui: .
Luas daerah tersebut adalah satuan luas.
Jadi titik potongnya di dan . Karena fungsi ini positif di antara kedua titik tersebut, kita dapat langsung mengintegralkan:
Luas daerah tersebut adalah satuan luas.
