For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Misalkan fungsi membatasi daerah dari sampai . Kita membagi menjadi subinterval dengan lebar .
Untuk fungsi yang kontinu dan tidak negatif pada dengan , rumus luasnya adalah:
Untuk luas daerah, tetapkan batas dan tinggi irisan sebelum mencari antiturunan. Contoh pada memperlihatkan ketiga keputusan itu.
| Keputusan | Contoh | Alasan |
|---|---|---|
| Batas | Diambil dari interval pada soal. | |
| Tinggi | Kurva berada di atas sumbu pada interval ini. | |
| Antiturunan | Turunannya kembali menjadi . |
Fungsi adalah antiturunan dari .
Jika kurva berada di bawah sumbu, gunakan nilai mutlak sebagai tinggi. Jika kurva berganti tanda, pisahkan interval pada titik nol agar tidak ada luas yang saling menghapus.
Perhatikan daerah yang dibatasi oleh , sumbu , , dan .
Pada , faktorkan fungsi menjadi . Setiap titik pada interval memenuhi dan , sehingga di seluruh interval. Nilai ujung dan konsisten dengan analisis tanda ini.
Luas geometris tidak bernilai negatif. Karena fungsi negatif di seluruh interval ini, nilai mutlaknya sama dengan lawan fungsinya, sehingga:
Sekarang evaluasi integral tentunya:
Jadi, luas daerah tersebut adalah satuan luas.
Pada contoh kedua, hitung luas di bawah kurva dari hingga .
Bentuk mengarahkan kita pada substitusi karena faktor sebanding dengan turunan ekspresi di dalam akar.
Tetapkan . Maka , sehingga .
Batas integrasi harus memakai variabel yang sama dengan integran: menghasilkan , sedangkan menghasilkan .
Sekarang integral kita menjadi:
Perhatikan bahwa dan .
Saat menggunakan substitusi dalam integral tentu, jangan lupa mengubah batas integrasi sesuai dengan variabel substitusi yang baru.
Batas dapat diberikan langsung atau diperoleh dari titik potong. Sebelum menghitung, tentukan tanda fungsi pada interval agar integral menghasilkan luas geometris.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu , dan garis serta !
Tentukan luas daerah di bawah kurva dari hingga !
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu !
Soal 1. Karena fungsi ini selalu positif, kita langsung dapat menyusun integral:
Setelah kita integralkan dan evaluasi, diperoleh:
Jadi, luas daerah tersebut adalah satuan luas.
Soal 2. Antiturunan yang digunakan adalah karena turunannya sama dengan .
Luas daerah tersebut adalah satuan luas.
Soal 3. Pertama, kita cari dulu di mana kurva memotong sumbu :
Jadi titik potongnya di dan . Karena fungsi ini positif di antara kedua titik tersebut, kita dapat langsung mengintegralkan:
Luas daerah tersebut adalah satuan luas.
Diterbitkan: . Diperbarui: .
