Jumlahan Riemann

Memperkirakan Luas dengan Persegi Panjang

Bayangkan sebidang tanah dengan salah satu sisi yang melengkung tidak beraturan. Untuk memperkirakan luas tanah tersebut, kita dapat membagi bidang tanah menjadi beberapa bagian berbentuk persegi panjang dengan lebar yang sama. Setelah itu, kita hitung luas setiap bagian dan menjumlahkan seluruh luas bagian.

Jumlahan Riemann menerapkan ide ini dengan membagi interval menjadi subinterval, memilih satu titik sampel pada setiap bagian, lalu menjumlahkan kontribusi persegi panjang bertanda. Untuk fungsi yang terintegralkan secara Riemann, hasil jumlahan mendekati integral tentu ketika lebar subinterval terbesar mendekati nol. Jika fungsi tidak negatif, akumulasi bertanda tersebut sama dengan luas di bawah kurva. Pada partisi sama lebar, semakin banyak persegi panjang yang digunakan, semakin sempit setiap persegi panjang. Namun, satu persegi panjang tambahan belum tentu membuat hasil jumlahan lebih dekat ke nilai integral tentu.

Partisi Interval dan Lebar Subinterval

Empat besaran menentukan Jumlahan Riemann dengan partisi sama lebar:

Titik sampel dapat dipilih pada ujung kiri, ujung kanan, titik tengah, atau titik lain di dalam subinterval.

Formula Jumlahan Riemann

Jika kita menggabungkan semua komponen tersebut, kita mendapatkan formula umum untuk Jumlahan Riemann:

Notasi sigma ($\sum$) berarti "jumlahkan semua luas persegi panjang". Luas setiap persegi panjang adalah tinggi ($f(x_i^*)$) dikali lebar ($\Delta x$).

Jumlahan Titik Ujung Kiri pada Fungsi Linear

Soal: Tentukan Jumlahan Riemann dari fungsi $f(x) = x$ pada interval $[0, 7]$ dengan membaginya menjadi $7$ subinterval sama panjang dan menggunakan titik ujung kiri sebagai titik sampel.

Penyelesaian:

1. Identifikasi Komponen:

   • Fungsi: $f(x) = x$
   • Interval: $a=0, b=7$
   • Jumlah partisi: $n=7$

2. Hitung Lebar Subinterval ($\Delta x$):

   $$\Delta x = \frac{7 - 0}{7} = 1$$

   Setiap persegi panjang akan memiliki lebar $1$.

3. Tentukan Titik Sampel (Ujung Kiri):

   Subinterval kita adalah:

   $$\begin{aligned} &[0,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], \\ &[5,6], [6,7] \end{aligned}$$

   Untuk metode ujung kiri, kita mengambil nilai $x$ di sisi kiri setiap subinterval sebagai titik sampel:

   $$\begin{aligned} &x_1=0, x_2=1, x_3=2, x_4=3, \\ &x_5=4, x_6=5, x_7=6 \end{aligned}$$

4. Hitung Tinggi Setiap Persegi Panjang:

   Tinggi setiap persegi panjang ditentukan oleh nilai fungsi $f(x) = x$ di titik sampel yang telah dipilih:

   $$f(x_1) = f(0) = 0$$

   $$f(x_2) = f(1) = 1$$

   $$f(x_3) = f(2) = 2$$

   $$f(x_4) = f(3) = 3$$

   $$f(x_5) = f(4) = 4$$

   $$f(x_6) = f(5) = 5$$

   $$f(x_7) = f(6) = 6$$

5. Hitung Jumlahan Riemann:

   Sekarang kita dapat menghitung total luas dengan menjumlahkan luas semua persegi panjang. Luas setiap persegi panjang adalah tinggi dikali lebar:

   $$R_7 = \sum_{i=1}^{7} f(x_i^*) \Delta x$$

   Nyatakan jumlah ketujuh nilai sampel sebagai $S$:

   $$\begin{aligned} S &=f(0)+f(1)+f(2)+f(3) \\ &\quad{}+f(4)+f(5)+f(6) \end{aligned}$$

   $$=S\cdot1$$

   $$= (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \cdot 1$$

   $$= 21$$

   Jadi, perkiraan luas daerah di bawah kurva $f(x)=x$ dari $0$ sampai $7$ adalah $21$.

Pada $[0,7]$, fungsi $f(x)=x$ tidak negatif dan monoton naik secara ketat. Karena itu, persegi panjang dengan titik ujung kiri berada di bawah grafik dan menghasilkan taksiran luas yang terlalu kecil, sedangkan titik ujung kanan menghasilkan taksiran yang terlalu besar.

Latihan

Setiap soal meminta luas yang dihampiri persegi panjang, jadi tetapkan banyak subinterval dan titik sampel pada setiap subinterval sebelum menjumlahkan sukunya. Pilihan titik sampel menentukan tinggi setiap persegi panjang, sehingga dua pilihan berbeda pada interval yang sama memberi hasil hampiran yang berbeda.

1. Hitung Jumlahan Riemann untuk fungsi $f(x) = x^2 + 1$ pada interval $[0, 4]$ menggunakan $4$ subinterval dengan lebar yang sama dan titik sampel berupa titik ujung kanan.

Pembahasan Terperinci

1. Kita akan menghitung Jumlahan Riemann untuk $f(x) = x^2+1$ pada $[0,4]$ dengan $n=4$.

   Visualisasi Latihan Jumlahan Riemann

   Grafik fungsi $f(x)=x^2+1$ dengan $4$ partisi persegi panjang menggunakan titik ujung kanan.

   KisiRotasi otomatis

   Langkah 1: Tentukan komponen utama.

   • Fungsi: $f(x) = x^2 + 1$
   • Interval: $a=0, b=4$
   • Jumlah partisi: $n=4$
   • Titik sampel: Ujung kanan

   Langkah 2: Hitung lebar subinterval.

   $$\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{4-0}{4} = 1$$

   Langkah 3: Tentukan titik sampel ujung kanan.

   Subintervalnya adalah:

   $$[0,1], [1,2], [2,3], [3,4]$$

   Untuk metode ujung kanan, kita mengambil nilai $x$ di sisi kanan setiap subinterval:

   $$x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4$$

   Langkah 4: Hitung tinggi setiap persegi panjang.

   Tinggi setiap persegi panjang ditentukan oleh nilai fungsi $f(x) = x^2 + 1$ di titik sampel ujung kanan:

   $$f(x_1) = f(1) = 1^2 + 1 = 2$$

   $$f(x_2) = f(2) = 2^2 + 1 = 5$$

   $$f(x_3) = f(3) = 3^2 + 1 = 10$$

   $$f(x_4) = f(4) = 4^2 + 1 = 17$$

   Langkah 5: Hitung total Jumlahan Riemann.

   Sekarang kita jumlahkan luas semua persegi panjang ($\text{tinggi} \times \text{lebar}$):

   $$R_4 = \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) \Delta x$$

   $$= [f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] \cdot 1$$

   $$= (2 + 5 + 10 + 17) \cdot 1$$

   $$= 34$$

   Jadi, Jumlahan Riemann untuk fungsi tersebut adalah $34$.