Sifat Integral Tak Tentu

Aturan Pangkat

Untuk pangkat dari variabel integrasi, gunakan:

Nilai $n=-1$ dikecualikan karena akan membuat penyebut nol. Kasus itu mengikuti aturan logaritma $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.

Sebagai contoh, evaluasi $\int x^5 \, dx$.

Di sini, $n=5$, sehingga:

Aturan Kelipatan Konstanta

Faktor konstan dapat dipindahkan ke luar integral:

Aturan ini mensyaratkan $a$ konstan terhadap variabel integrasi.

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan atau pengurangan dapat diintegralkan suku demi suku.

Contohnya, untuk menyelesaikan $\int (x^4 - x^3) \, dx$, kita pisahkan dulu:

Tuliskan satu konstanta $C$ di akhir. Secara formal, kita dapat menulis $C_1$ dan $C_2$ untuk kedua antiturunan, tetapi jumlah atau selisih kedua konstanta itu kembali menjadi konstanta sembarang. Karena itu, satu sudah mencakup semua nilai yang mungkin.

Aturan Substitusi

Jika integran memuat ekspresi komposit beserta turunannya atau kelipatan konstannya, tetapkan ekspresi bagian dalam sebagai variabel baru, biasanya $u=g(x)$. Setelah itu, $du=g'(x)\,dx$ menggantikan faktor turunan yang sesuai.

Perubahan variabel ini disebut substitusi u. Jika faktor turunannya tersedia, integran yang tersusun berubah menjadi $f(u)$.

Latihan

Setiap soal memakai sifat kelinearan, jadi pisahkan jumlahnya menjadi beberapa integral, keluarkan konstantanya, lalu integralkan setiap suku dengan aturan pangkat. Soal ketiga memerlukan aturan substitusi karena satu faktornya adalah turunan dari bagian di dalam pangkat, sehingga sifat kelinearan saja belum cukup.

1. Tentukan hasil dari $\int 6x^2 \, dx$!
2. Tentukan hasil dari $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$!

Pembahasan Terperinci

1. Untuk menyelesaikan $\int 6x^2 \, dx$, kita bisa menggunakan Aturan Kelipatan Konstanta dan Aturan Pangkat.

   Langkah 1: Keluarkan konstanta $6$ dari integral.

   $$\int 6x^2 \, dx = 6 \int x^2 \, dx$$