Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu

Pendekatan Luas dengan Persegi Panjang

Rumus luas persegi panjang dan segitiga tidak langsung berlaku pada daerah yang batasnya melengkung.

Integral tentu menangani daerah tersebut dengan menjumlahkan luas strip yang makin sempit. Pada jumlahan Riemann, interval dibagi menjadi beberapa bagian, setiap strip dihampiri dengan persegi panjang, lalu limit jumlah luasnya dihitung.

Misalkan fungsi $f(x)$ membatasi daerah dari $x = a$ sampai $x = b$. Kita membagi $[a, b]$ menjadi $n$ subinterval dengan lebar $\Delta x$.

Menentukan Luas dengan Integral Tentu

Gunakan tiga langkah berikut untuk menghitung luas. Setiap langkah menghilangkan satu sumber kesalahan: batas menetapkan selangnya, fungsi yang diintegralkan menetapkan tingginya, dan penilaian mengubah antiturunan menjadi sebuah bilangan.

Identifikasi Batas Integrasi

Langkah pertama adalah menentukan batas bawah dan batas atas integrasi. Batas ini menunjukkan rentang nilai $x$ yang membatasi daerah yang ingin kita hitung luasnya. Tentukan batasnya dari titik potong atau dari keterangan soal sebelum menyusun integralnya.

Tentukan Fungsi Integran

Integran menyatakan tinggi vertikal daerah. Jika $f(x) \ge 0$ pada seluruh $[a,b]$, luasnya adalah $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$. Jika grafik memotong sumbu, pecah interval pada titik nolnya atau integralkan $|f(x)|$ agar setiap bagian menyumbang luas positif.

Evaluasi Integral

Setelah menentukan batas dan fungsi, kita dapat mengevaluasi integral menggunakan teorema dasar kalkulus:

Pada rumus ini, $F(x)$ adalah antiturunan dari $f(x)$.

Penerapan pada Fungsi Kuadrat

Perhatikan daerah yang dibatasi oleh $f(x) = x^2 - 4x$, sumbu $x$, $x = 1$, dan $x = 3$.

Pada $[1,3]$, faktorkan fungsi menjadi $f(x)=x(x-4)$. Setiap titik pada interval memenuhi $x>0$ dan $x-4<0$, sehingga $f(x)<0$ di seluruh interval. Nilai ujung $f(1)=-3$ dan $f(3)=-3$ konsisten dengan analisis tanda ini.

Luas geometris tidak bernilai negatif. Karena fungsi negatif di seluruh interval ini, nilai mutlaknya sama dengan lawan fungsinya, sehingga:

Sekarang evaluasi integral tentunya:

Jadi, luas daerah tersebut adalah $\frac{22}{3}$ satuan luas.

Penerapan pada Fungsi Akar

Pada contoh kedua, hitung luas di bawah kurva $f(x) = x\sqrt{x^2 + 5}$ dari $x = 0$ hingga $x = 2$.

Bentuk $x\sqrt{x^2 + 5}$ mengarahkan kita pada substitusi karena faktor $x$ sebanding dengan turunan ekspresi di dalam akar.

Tetapkan $u = x^2 + 5$. Maka $du = 2x \, dx$, sehingga $x \, dx = \frac{1}{2} du$.

Batas integrasi harus memakai variabel yang sama dengan integran: $x = 0$ menghasilkan $u = 5$, sedangkan $x = 2$ menghasilkan $u = 9$.

Sekarang integral kita menjadi:

Perhatikan bahwa $9^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$ dan $5^{3/2} = 5 \cdot \sqrt{5}$.

Saat menggunakan substitusi dalam integral tentu, jangan lupa mengubah batas integrasi sesuai dengan variabel substitusi yang baru.

Latihan

Setiap soal memberikan daerah yang dibatasi kurva dan meminta luasnya, jadi langkah pertamanya adalah menuliskan batas perpotongan kurvanya sebelum menghitung integral.

1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 + 1$, sumbu $x$, dan garis $x = 0$ serta $x = 2$!

2. Tentukan luas daerah di bawah kurva $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ dari $x = 0$ hingga $x = 1$!

3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 2x - x^2$ dan sumbu $x$!

Pembahasan Terperinci

1. Soal pertama dengan fungsi $y = x^2 + 1$

   Karena fungsi ini selalu positif, kita langsung dapat menyusun integral:

   $$A = \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx$$

   Setelah kita integralkan dan evaluasi, diperoleh:

   $$A = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{2}$$

   $$A = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - 0 = \frac{14}{3}$$

   Jadi, luas daerah tersebut adalah $\frac{14}{3}$ satuan luas.

2. Soal kedua dengan fungsi rasional

   Antiturunan yang digunakan adalah $\arctan(x)$ karena turunannya sama dengan $\frac{1}{x^2 + 1}$.

   $$A = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$$

   $$A = [\arctan(x)]_{0}^{1}$$

   $$A = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}$$

   Luas daerah tersebut adalah $\frac{\pi}{4}$ satuan luas.

3. Soal ketiga dengan parabola

   Pertama, kita cari dulu di mana kurva memotong sumbu $x$:

   $$2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0$$

   Jadi titik potongnya di $x = 0$ dan $x = 2$. Karena fungsi ini positif di antara kedua titik tersebut, kita dapat langsung mengintegralkan:

   $$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$$

   $$A = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}$$

   $$A = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

   Luas daerah tersebut adalah $\frac{4}{3}$ satuan luas.