Teorema Dasar Kalkulus

Hubungan Turunan dan Integral

Teorema Dasar Kalkulus (TDK) menghubungkan turunan dan integral. Teorema ini menjelaskan mengapa turunan fungsi akumulasi mengembalikan lajunya dan mengapa antiturunan dapat dipakai untuk mengevaluasi integral tentu tanpa menghitung ulang limit jumlahan Riemann.

Anggap $f$ kontinu pada interval yang dibahas. Bagian Pertama menurunkan integral yang batas atasnya berubah, sedangkan Bagian Kedua mengevaluasi integral berbatas tetap dengan sembarang antiturunan integrannya. Kekontinuan merupakan syarat cukup yang memastikan kedua pernyataan berlaku di sini.

Diferensiasi Sebuah Fungsi Integral

Bagian Pertama menyatakan bahwa mengakumulasi suatu laju kontinu lalu menurunkannya akan mengembalikan laju semula:

\begin{aligned} F(x) &= \int_{a}^{x} f(t) \, dt \\ &\implies F'(x) \\ &= f(x) \end{aligned}

Ini berarti turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan sebagai integral adalah fungsi di dalam integral itu sendiri.

Jika $f(t)$ adalah laju aliran masuk pada waktu $t$ , maka $F(x)$ adalah volume yang masuk sejak waktu awal hingga waktu $x$ . Laju perubahan sesaatnya, $F'(x)$ , sama dengan laju aliran $f(x)$ .

Contoh:

Tentukan turunan dari $F(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt$ .

Penyelesaian:

Menurut TDK Bagian Pertama, turunan diperoleh dengan mengevaluasi integran pada batas atas yang berubah: ganti $t$ dengan $x$ .

\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt \right) = \sqrt{2+x}

Hasilnya adalah integran semula yang dievaluasi pada batas atas.

Evaluasi Integral dengan Antiturunan

Jika $F'(x)=f(x)$ , Bagian Kedua Teorema Dasar Kalkulus menghitung integral tentu dari selisih nilai $F$ pada kedua batas:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Di sini $F(x)$ adalah antiturunan dari $f(x)$ . Selisih nilai pada kedua batas memberikan akumulasi bertanda $f(x)$ dari $a$ sampai $b$ . Jika integrannya tidak negatif, nilai itu juga merupakan luas geometris.

Selisih itu sering ditulis dengan notasi kurung siku $[F(x)]_{a}^{b}$ yang berarti $F(b) - F(a)$ .

Contoh 1:

Tentukan nilai dari $\int_{1}^{3} x^2 \, dx$ .

Penyelesaian:

Cari antiturunan: Antiturunan dari $f(x) = x^2$ adalah $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ .
Evaluasi pada batas: Hitung $F(3) - F(1)$ .
$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{1}^{3}$

Contoh 2:

Tentukan nilai dari $\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx$ .

Penyelesaian:

Cari antiturunan: Antiturunan dari $f(x) = 2x - 1$ adalah $F(x) = x^2 - x$ .
Evaluasi pada batas: Hitung $F(5) - F(1)$ .
$\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_{1}^{5}$

Teorema Dasar Kalkulus menghitung integral tentu melalui antiturunan: cari antiturunannya, lalu kurangkan nilai pada batas atas dan batas bawah.

Hubungan Turunan dan Integral

Diferensiasi Sebuah Fungsi Integral

Bagian Pertama menyatakan bahwa mengakumulasi suatu laju kontinu lalu menurunkannya akan mengembalikan laju semula:

\begin{aligned} F(x) &= \int_{a}^{x} f(t) \, dt \\ &\implies F'(x) \\ &= f(x) \end{aligned}

Ini berarti turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan sebagai integral adalah fungsi di dalam integral itu sendiri.

Jika $f(t)$ adalah laju aliran masuk pada waktu $t$ , maka $F(x)$ adalah volume yang masuk sejak waktu awal hingga waktu $x$ . Laju perubahan sesaatnya, $F'(x)$ , sama dengan laju aliran $f(x)$ .

Contoh:

Tentukan turunan dari $F(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt$ .

Penyelesaian:

Menurut TDK Bagian Pertama, turunan diperoleh dengan mengevaluasi integran pada batas atas yang berubah: ganti $t$ dengan $x$ .

\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt \right) = \sqrt{2+x}

Hasilnya adalah integran semula yang dievaluasi pada batas atas.

Evaluasi Integral dengan Antiturunan

Jika $F'(x)=f(x)$ , Bagian Kedua Teorema Dasar Kalkulus menghitung integral tentu dari selisih nilai $F$ pada kedua batas:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Selisih itu sering ditulis dengan notasi kurung siku $[F(x)]_{a}^{b}$ yang berarti $F(b) - F(a)$ .

Contoh 1:

Tentukan nilai dari $\int_{1}^{3} x^2 \, dx$ .

Penyelesaian:

Cari antiturunan: Antiturunan dari $f(x) = x^2$ adalah $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ .
Evaluasi pada batas: Hitung $F(3) - F(1)$ .
$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{1}^{3}$

Contoh 2:

Tentukan nilai dari $\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx$ .

Penyelesaian:

Cari antiturunan: Antiturunan dari $f(x) = 2x - 1$ adalah $F(x) = x^2 - x$ .
Evaluasi pada batas: Hitung $F(5) - F(1)$ .
$\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_{1}^{5}$

Teorema Dasar Kalkulus menghitung integral tentu melalui antiturunan: cari antiturunannya, lalu kurangkan nilai pada batas atas dan batas bawah.