Integral dalam Bidang Ekonomi dan Bisnis

Laju Penjualan dan Jumlah Barang yang Terjual

Data ekonomi sering menyatakan suatu laju, misalnya jumlah barang yang terjual per bulan atau tambahan biaya untuk setiap unit yang diproduksi. $Integral menjumlahkan perubahan tersebut selama selang waktu$ atau jumlah produksi tertentu.

Misalnya, integral dari laju penjualan selama tiga bulan memberikan jumlah barang yang terjual dalam tiga bulan tersebut.

Sumbu horizontal mengikuti variabel integrasi: waktu untuk laju penjualan, atau jumlah produksi untuk biaya marginal. $Satuan integral$ merupakan hasil kali satuan kedua sumbu.

Besaran yang diintegralkan	Variabel integrasi	Hasil
Unit per bulan	Bulan	Unit terjual
Ribu rupiah per unit	Unit produksi	Ribu rupiah
Ribu rupiah per bulan	Bulan	Ribu rupiah

Analisis Penjualan Menggunakan Integral

Misalkan sebuah perusahaan teknologi meluncurkan smartphone baru. Laju penjualan bulanannya dimodelkan dengan fungsi $f(t) = 2000\sqrt{t + 1} + 800 \text{ unit}$ per bulan. Variabel $t$ menyatakan waktu dalam bulan setelah peluncuran.

Berapa $total penjualan$ dalam $3 \text{ bulan}$ pertama? Karena yang diketahui adalah lajunya, kita perlu mengintegralkan fungsi tersebut:

S = \int_{0}^{3} (2000\sqrt{t + 1} + 800) \, dt

Selesaikan ini dengan memisahkan integralnya terlebih dahulu:

S = \int_{0}^{3} 2000\sqrt{t + 1} \, dt + \int_{0}^{3} 800 \, dt

Untuk integral yang mengandung akar, kita bisa gunakan substitusi. Misalkan $u = t + 1$ , maka $du = dt$ . Jangan lupa ubah batas integrasinya juga!

S = 2000 \int_{1}^{4} u^{1/2} \, du + 2400

Model kontinu tersebut memprediksi $S = \frac{35200}{3} \approx 11733{,}33$ unit smartphone dalam $3 \text{ bulan}$ pertama. Jika dinyatakan sebagai jumlah perangkat utuh, hasilnya sekitar $11733$ smartphone.

Analisis Pertumbuhan Pendapatan

Model kedua menyatakan laju pertumbuhan pendapatan sebuah perusahaan rintisan sebagai $R'(t) = 5000e^{0{,}1t}$ ribu rupiah per bulan. Variabel $t$ menyatakan waktu dalam bulan.

Untuk menghitung $total peningkatan pendapatan$ dalam $6 \text{ bulan}$ pertama, kita integralkan fungsi laju pertumbuhan:

Tuliskan peningkatan itu sebagai $\Delta R=R(6)-R(0)$ . Nilai pendapatan awal tidak diperlukan untuk menghitung $perubahannya$ .

\Delta R = \int_{0}^{6} 5000e^{0{,}1t} \, dt

Dengan $e^{0{,}6} \approx 1{,}822$ , maka total peningkatan pendapatan adalah sekitar $50000 \times 0{,}822 = 41100$ ribu rupiah atau $41{,}1 \text{ juta rupiah}$ .

Total Biaya Produksi

Dalam bisnis, perusahaan sering perlu memperkirakan biaya produksi. Misalkan biaya marginalnya adalah $MC(x) = 0{,}3x^2 - 12x + 200$ ribu rupiah per unit. Variabel $x$ menyatakan jumlah unit yang diproduksi.

Untuk mengetahui $total biaya variabel$ dalam memproduksi $20 \text{ unit}$ pertama, perusahaan mengintegralkan fungsi biaya marginal:

VC = \int_{0}^{20} (0{,}3x^2 - 12x + 200) \, dx

Setelah kita integralkan dan evaluasi, diperoleh:

VC = \left[0{,}1x^3 - 6x^2 + 200x\right]_{0}^{20}

Dengan asumsi $VC(0)=0$ , total biaya variabel untuk memproduksi $20 \text{ unit}$ adalah $2{,}4 \text{ juta rupiah}$ . Biaya tetap terpisah dan tidak termasuk dalam integral ini.

Dalam penerapan ekonomi, integral mengubah besaran marginal atau laju perubahan menjadi jumlah yang terakumulasi. Misalnya, integral dari biaya marginal memberikan perubahan biaya total.

Analisis Surplus Konsumen

Surplus konsumen juga dapat dihitung dengan integral. Misalkan suatu pasar memiliki fungsi permintaan $P = 100 - 0{,}5Q$ dan harga keseimbangan $60 \text{ rupiah per unit}$ . Kuantitas keseimbangan pada kurva permintaan tersebut diperoleh dari:

\begin{aligned} &60=100-0{,}5Q \\ &\Longrightarrow \\ &Q=80 \end{aligned}

Surplus konsumen menjumlahkan, untuk $80$ unit yang diperdagangkan, selisih antara kesediaan membayar pembeli menurut kurva permintaan dan harga pasar yang benar-benar mereka bayar:

\begin{aligned} CS &= \int_{0}^{80} (100 - 0{,}5Q - 60) \, dQ \\ &= \int_{0}^{80} (40 - 0{,}5Q) \, dQ \end{aligned}

Setelah dievaluasi:

CS = \left[40Q - 0{,}25Q^2\right]_{0}^{80}

Surplus konsumen sebesar $1600 \text{ rupiah}$ mengukur manfaat moneter total yang diperoleh konsumen di atas harga keseimbangan.

Selisih harga membentuk $segitiga$ : pada $Q=0$ tingginya $40$ rupiah per unit, lalu turun ke nol pada $Q=80$ . Cek hasil integral dengan luas segitiga:

CS=\frac12(80)(100-60)=1600

Latihan

Setiap soal memberikan laju seperti biaya marginal atau pendapatan marginal dan meminta jumlah akumulasinya, jadi $integralkan laju$ itu pada selang yang diberikan lalu baca hasilnya dalam satuan aslinya.

Sebuah perusahaan memiliki laju penjualan $f(t) = 1000 + 500t \text{ unit}$ per bulan. Hitunglah total penjualan dalam $6 \text{ bulan}$ pertama!
Jika biaya marginal suatu produk adalah $MC(x) = 2x + 50$ ribu rupiah per unit, berapa total biaya variabel untuk memproduksi $25 \text{ unit}$ ?
Fungsi laju pertumbuhan investasi adalah $I'(t) = 2000e^{0{,}05t}\text{ juta}$ rupiah per tahun. Hitunglah total pertumbuhan investasi dalam $4 \text{ tahun}$ !

Pembahasan

$Soal 1$ . Integralkan $fungsi laju penjualan$ dari bulan ke-0 sampai bulan ke-6. Laju dalam unit per bulan dikalikan selang waktu dalam bulan menghasilkan jumlah unit yang terjual.

S = \int_{0}^{6} (1000 + 500t) \, dt

Hasilnya adalah:

S = \left[1000t + 250t^2\right]_{0}^{6}

Total penjualan dalam $6 \text{ bulan}$ adalah $15{.}000 \text{ unit}$ .

$Soal 2$ . Integralkan $fungsi biaya marginal$ dari produksi nol sampai 25 unit. Karena biaya marginal dinyatakan dalam ribu rupiah per unit, hasil integral dinyatakan dalam ribu rupiah.

VC = \int_{0}^{25} (2x + 50) \, dx

Setelah dievaluasi:

VC = \left[x^2 + 50x\right]_{0}^{25}

Total biaya variabel adalah $1{.}875$ ribu rupiah atau $1{,}875 \text{ juta rupiah}$ .

Dengan $VC(0)=0$ , hasil ini adalah biaya variabel. Jika ada biaya tetap, tambahkan secara terpisah.

$Soal 3$ . Akumulasikan laju investasi selama empat tahun. Antiturunan eksponensial memerlukan pembagian dengan koefisien waktu, yaitu $0{,}05$ .

\Delta I = \int_{0}^{4} 2000e^{0{,}05t} \, dt

Hasilnya adalah:

\Delta I = 2000 \left[\frac{e^{0{,}05t}}{0{,}05}\right]_{0}^{4}

Total $pertumbuhan investasi$ dalam $4 \text{ tahun}$ adalah sekitar $8{,}86 \text{ miliar}$ rupiah.

Laju Penjualan dan Jumlah Barang yang Terjual

Misalnya, integral dari laju penjualan selama tiga bulan memberikan jumlah barang yang terjual dalam tiga bulan tersebut.

Sumbu horizontal mengikuti variabel integrasi: waktu untuk laju penjualan, atau jumlah produksi untuk biaya marginal. $Satuan integral$ merupakan hasil kali satuan kedua sumbu.

Besaran yang diintegralkan	Variabel integrasi	Hasil
Unit per bulan	Bulan	Unit terjual
Ribu rupiah per unit	Unit produksi	Ribu rupiah
Ribu rupiah per bulan	Bulan	Ribu rupiah

Analisis Penjualan Menggunakan Integral

Berapa $total penjualan$ dalam $3 \text{ bulan}$ pertama? Karena yang diketahui adalah lajunya, kita perlu mengintegralkan fungsi tersebut:

S = \int_{0}^{3} (2000\sqrt{t + 1} + 800) \, dt

Selesaikan ini dengan memisahkan integralnya terlebih dahulu:

S = \int_{0}^{3} 2000\sqrt{t + 1} \, dt + \int_{0}^{3} 800 \, dt

Untuk integral yang mengandung akar, kita bisa gunakan substitusi. Misalkan $u = t + 1$ , maka $du = dt$ . Jangan lupa ubah batas integrasinya juga!

S = 2000 \int_{1}^{4} u^{1/2} \, du + 2400

Analisis Pertumbuhan Pendapatan

Model kedua menyatakan laju pertumbuhan pendapatan sebuah perusahaan rintisan sebagai $R'(t) = 5000e^{0{,}1t}$ ribu rupiah per bulan. Variabel $t$ menyatakan waktu dalam bulan.

Untuk menghitung $total peningkatan pendapatan$ dalam $6 \text{ bulan}$ pertama, kita integralkan fungsi laju pertumbuhan:

Tuliskan peningkatan itu sebagai $\Delta R=R(6)-R(0)$ . Nilai pendapatan awal tidak diperlukan untuk menghitung $perubahannya$ .

\Delta R = \int_{0}^{6} 5000e^{0{,}1t} \, dt

Dengan $e^{0{,}6} \approx 1{,}822$ , maka total peningkatan pendapatan adalah sekitar $50000 \times 0{,}822 = 41100$ ribu rupiah atau $41{,}1 \text{ juta rupiah}$ .

Total Biaya Produksi

Untuk mengetahui $total biaya variabel$ dalam memproduksi $20 \text{ unit}$ pertama, perusahaan mengintegralkan fungsi biaya marginal:

VC = \int_{0}^{20} (0{,}3x^2 - 12x + 200) \, dx

Setelah kita integralkan dan evaluasi, diperoleh:

VC = \left[0{,}1x^3 - 6x^2 + 200x\right]_{0}^{20}

Dengan asumsi $VC(0)=0$ , total biaya variabel untuk memproduksi $20 \text{ unit}$ adalah $2{,}4 \text{ juta rupiah}$ . Biaya tetap terpisah dan tidak termasuk dalam integral ini.

Dalam penerapan ekonomi, integral mengubah besaran marginal atau laju perubahan menjadi jumlah yang terakumulasi. Misalnya, integral dari biaya marginal memberikan perubahan biaya total.

Analisis Surplus Konsumen

\begin{aligned} &60=100-0{,}5Q \\ &\Longrightarrow \\ &Q=80 \end{aligned}

Surplus konsumen menjumlahkan, untuk $80$ unit yang diperdagangkan, selisih antara kesediaan membayar pembeli menurut kurva permintaan dan harga pasar yang benar-benar mereka bayar:

\begin{aligned} CS &= \int_{0}^{80} (100 - 0{,}5Q - 60) \, dQ \\ &= \int_{0}^{80} (40 - 0{,}5Q) \, dQ \end{aligned}

Setelah dievaluasi:

CS = \left[40Q - 0{,}25Q^2\right]_{0}^{80}

Surplus konsumen sebesar $1600 \text{ rupiah}$ mengukur manfaat moneter total yang diperoleh konsumen di atas harga keseimbangan.

Selisih harga membentuk $segitiga$ : pada $Q=0$ tingginya $40$ rupiah per unit, lalu turun ke nol pada $Q=80$ . Cek hasil integral dengan luas segitiga:

CS=\frac12(80)(100-60)=1600

Latihan

Sebuah perusahaan memiliki laju penjualan $f(t) = 1000 + 500t \text{ unit}$ per bulan. Hitunglah total penjualan dalam $6 \text{ bulan}$ pertama!
Jika biaya marginal suatu produk adalah $MC(x) = 2x + 50$ ribu rupiah per unit, berapa total biaya variabel untuk memproduksi $25 \text{ unit}$ ?
Fungsi laju pertumbuhan investasi adalah $I'(t) = 2000e^{0{,}05t}\text{ juta}$ rupiah per tahun. Hitunglah total pertumbuhan investasi dalam $4 \text{ tahun}$ !

Pembahasan

$Soal 1$ . Integralkan $fungsi laju penjualan$ dari bulan ke-0 sampai bulan ke-6. Laju dalam unit per bulan dikalikan selang waktu dalam bulan menghasilkan jumlah unit yang terjual.

S = \int_{0}^{6} (1000 + 500t) \, dt

Hasilnya adalah:

S = \left[1000t + 250t^2\right]_{0}^{6}

Total penjualan dalam $6 \text{ bulan}$ adalah $15{.}000 \text{ unit}$ .

$Soal 2$ . Integralkan $fungsi biaya marginal$ dari produksi nol sampai 25 unit. Karena biaya marginal dinyatakan dalam ribu rupiah per unit, hasil integral dinyatakan dalam ribu rupiah.

VC = \int_{0}^{25} (2x + 50) \, dx

Setelah dievaluasi:

VC = \left[x^2 + 50x\right]_{0}^{25}

Total biaya variabel adalah $1{.}875$ ribu rupiah atau $1{,}875 \text{ juta rupiah}$ .

Dengan $VC(0)=0$ , hasil ini adalah biaya variabel. Jika ada biaya tetap, tambahkan secara terpisah.

$Soal 3$ . Akumulasikan laju investasi selama empat tahun. Antiturunan eksponensial memerlukan pembagian dengan koefisien waktu, yaitu $0{,}05$ .

\Delta I = \int_{0}^{4} 2000e^{0{,}05t} \, dt

Hasilnya adalah:

\Delta I = 2000 \left[\frac{e^{0{,}05t}}{0{,}05}\right]_{0}^{4}

Total $pertumbuhan investasi$ dalam $4 \text{ tahun}$ adalah sekitar $8{,}86 \text{ miliar}$ rupiah.