Integral dalam Bidang Ekonomi dan Bisnis

Laju Penjualan dan Jumlah Barang yang Terjual

Data ekonomi sering menyatakan suatu laju, misalnya jumlah barang yang terjual per bulan atau tambahan biaya untuk setiap unit yang diproduksi. Integral menjumlahkan perubahan tersebut selama selang waktu atau jumlah produksi tertentu.

Misalnya, integral dari laju penjualan selama tiga bulan memberikan jumlah barang yang terjual dalam tiga bulan tersebut.

Konsep ini serupa dengan menghitung luas daerah di bawah kurva. Pada grafik besaran ekonomi, sumbu horizontal menyatakan waktu dan sumbu vertikal menyatakan laju perubahan.

Analisis Penjualan Menggunakan Integral

Misalkan sebuah perusahaan teknologi meluncurkan smartphone baru. Laju penjualan bulanannya dimodelkan dengan fungsi $f(t) = 2000\sqrt{t + 1} + 800 \text{ unit}$ per bulan. Variabel $t$ menyatakan waktu dalam bulan setelah peluncuran.

Berapa total penjualan dalam $3 \text{ bulan}$ pertama? Karena yang diketahui adalah lajunya, kita perlu mengintegralkan fungsi tersebut:

S = \int_{0}^{3} (2000\sqrt{t + 1} + 800) \, dt

Selesaikan ini dengan memisahkan integralnya terlebih dahulu:

S = \int_{0}^{3} 2000\sqrt{t + 1} \, dt + \int_{0}^{3} 800 \, dt

Untuk integral yang mengandung akar, kita bisa gunakan substitusi. Misalkan $u = t + 1$ , maka $du = dt$ . Jangan lupa ubah batas integrasinya juga!

S = 2000 \int_{1}^{4} u^{1/2} \, du + 2400

Model kontinu tersebut memprediksi $S = \frac{35200}{3} \approx 11733{,}33$ unit smartphone dalam $3 \text{ bulan}$ pertama. Jika dinyatakan sebagai jumlah perangkat utuh, hasilnya sekitar $11733$ smartphone.

Analisis Pertumbuhan Pendapatan

Model kedua menyatakan laju pertumbuhan pendapatan sebuah perusahaan rintisan sebagai $R'(t) = 5000e^{0{,}1t}$ ribu rupiah per bulan. Variabel $t$ menyatakan waktu dalam bulan.

Untuk menghitung total peningkatan pendapatan dalam $6 \text{ bulan}$ pertama, kita integralkan fungsi laju pertumbuhan:

R = \int_{0}^{6} 5000e^{0{,}1t} \, dt

Dengan $e^{0{,}6} \approx 1{,}822$ , maka total peningkatan pendapatan adalah sekitar $50000 \times 0{,}822 = 41100$ ribu rupiah atau $41{,}1 \text{ juta rupiah}$ .

Total Biaya Produksi

Dalam bisnis, perusahaan sering perlu memperkirakan biaya produksi. Misalkan biaya marginalnya adalah $MC(x) = 0{,}3x^2 - 12x + 200$ ribu rupiah per unit. Variabel $x$ menyatakan jumlah unit yang diproduksi.

Untuk mengetahui total biaya variabel dalam memproduksi $20 \text{ unit}$ pertama, perusahaan mengintegralkan fungsi biaya marginal:

VC = \int_{0}^{20} (0{,}3x^2 - 12x + 200) \, dx

Setelah kita integralkan dan evaluasi, diperoleh:

VC = \left[0{,}1x^3 - 6x^2 + 200x\right]_{0}^{20}

Dengan asumsi $VC(0)=0$ , total biaya variabel untuk memproduksi $20 \text{ unit}$ adalah $2{,}4 \text{ juta rupiah}$ . Biaya tetap terpisah dan tidak termasuk dalam integral ini.

Dalam penerapan ekonomi, integral mengubah besaran marginal atau laju perubahan menjadi jumlah yang terakumulasi. Misalnya, integral dari biaya marginal memberikan perubahan biaya total.

Analisis Surplus Konsumen

Surplus konsumen juga dapat dihitung dengan integral. Misalkan suatu pasar memiliki fungsi permintaan $P = 100 - 0{,}5Q$ dan harga keseimbangan $60 \text{ rupiah per unit}$ . Kuantitas keseimbangan pada kurva permintaan tersebut diperoleh dari:

\begin{aligned} &60=100-0{,}5Q \\ &\Longrightarrow \\ &Q=80 \end{aligned}

Surplus konsumen menjumlahkan, untuk $80$ unit yang diperdagangkan, selisih antara kesediaan membayar pembeli menurut kurva permintaan dan harga pasar yang benar-benar mereka bayar:

\begin{aligned} CS &= \int_{0}^{80} (100 - 0{,}5Q - 60) \, dQ \\ &= \int_{0}^{80} (40 - 0{,}5Q) \, dQ \end{aligned}

Setelah dievaluasi:

CS = \left[40Q - 0{,}25Q^2\right]_{0}^{80}

Surplus konsumen sebesar $1600 \text{ rupiah}$ mengukur manfaat moneter total yang diperoleh konsumen di atas harga keseimbangan.

Latihan

Setiap soal memberikan laju seperti biaya marginal atau pendapatan marginal dan meminta jumlah akumulasinya, jadi integralkan laju itu pada selang yang diberikan lalu baca hasilnya dalam satuan aslinya.

Sebuah perusahaan memiliki laju penjualan $f(t) = 1000 + 500t \text{ unit}$ per bulan. Hitunglah total penjualan dalam $6 \text{ bulan}$ pertama!
Jika biaya marginal suatu produk adalah $MC(x) = 2x + 50$ ribu rupiah per unit, berapa total biaya variabel untuk memproduksi $25 \text{ unit}$ ?
Fungsi laju pertumbuhan investasi adalah $I'(t) = 2000e^{0{,}05t}\text{ juta}$ rupiah per tahun. Hitunglah total pertumbuhan investasi dalam $4 \text{ tahun}$ !

Pembahasan

Menghitung total penjualan

Karena kita punya fungsi laju penjualan, tinggal integralkan saja:

$S = \int_{0}^{6} (1000 + 500t) \, dt$

Hasilnya adalah:
$S = \left[1000t + 250t^2\right]_{0}^{6}$
Total penjualan dalam $6 \text{ bulan}$ adalah $15{.}000 \text{ unit}$ .
Menghitung biaya variabel

Integralkan fungsi biaya marginal:

$VC = \int_{0}^{25} (2x + 50) \, dx$

Setelah dievaluasi:
$VC = \left[x^2 + 50x\right]_{0}^{25}$
Total biaya variabel adalah $1{,}875$ ribu rupiah atau $1{,}875 \text{ juta rupiah}$ .
Menghitung pertumbuhan investasi

Untuk fungsi eksponensial, kita integralkan:

$I = \int_{0}^{4} 2000e^{0{,}05t} \, dt$

Hasilnya adalah:
$I = 2000 \left[\frac{e^{0{,}05t}}{0{,}05}\right]_{0}^{4}$
Total pertumbuhan investasi dalam $4 \text{ tahun}$ adalah sekitar $8{,}86 \text{ miliar}$ rupiah.